Enunciado

Em uma notícia divulgada recentemente na TV sobre o abaixamento do nível do lago Shafer perto de Monticello, Indiana, pelo aumento na descarga através da comporta do lago, as seguintes informações foram repassadas a respeito do escoamento na comporta:

Vazão normal 8,2   m 3 / s

Vazão durante a drenagem do lago 57   m 3 / s

(A vazão durante a drenagem foi dita ser equivalente a 60,5   m 3 / s .) O repórter disse também que, durante a drenagem, esperavase uma diminuição no nível do lago à taxa de 0,3   m a cada 8   h o r a s . Calcule a vazão real durante a drenagem em m 3 / s . Estime a área superficial do lago.

Passo 1

Nos foi da do no enunciado que:

Vazão normal: Q i = 8,2   m 3 / s

Vazão durante a drenagem do lago: Q 0 = 57   m 3 / s

Taxa de diminuição no nível do lago:

d h d t = - 0,3   m 8   h o r a s = - 1,042 × 10 - 5 m s

A vazão real durante a drenagem do lago já foi dada em m 3 / s . Q 0 = 57   m 3 / s

Passo 2

Podemos fazer um esboço do volume de controle da seguinte maneira.

O volume de controle está representado pela área pontilhada no desenho.

Hipóteses:

Fluido incompressível: ρ = c o n t a n t e

Regime em estado estacionário: Q = c o n t a n t e

Passo 3

Agora, podemos aplicar a equação da conservação de massa no volume de controle. Usando a equação básica, temos:

∂ ∂ t ∫ V C   ρ d ∀ + ∫ S C   ρ V → ⋅ d A → = 0

∂ ∂ t ∫ V C   ρ d ∀ + ∫ i   ρ V → ⋅ d A → + ∫ 0   ρ V → ⋅ d A → = 0

∂ ∂ t ∫ V C   ρ d ∀ - ∫ i   ρ V i d A i + ∫ 0   ρ V 0 d A 0 = 0

∂ ∂ t ρ ∀ = ∫ i   ρ V i d A i - ∫ 0   ρ V 0 d A 0

ρ ∂ ∀ ∂ t = ρ ∫ i   V i d A i - ∫ 0   V 0 d A 0

∂ ∀ ∂ t = V i A i - V 0 A 0

Sabemos que:

Q = V A

E também

∀ = A h

Assim temos:

∂ A h ∂ t = Q i - Q 0

A ∂ h ∂ t = Q i - Q 0

A = Q i - Q 0 ∂ h ∂ t

Passo 4

Para estimar área superficial do lago, basta substituir os valores na equação encontrada no passo anterior.

A = 8,2   m 3 / s - 57   m 3 / s - 1,042 × 10 - 5   m / s

A = 4.684.800   m 2

Portanto, a área de superfície do lago é  4.684.800   m 2 .

Resposta

A = 4.684.800   m 2

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