Enunciado

Da teoria elementar do escoamento compressível (Capítulo 9), ar comprimido irá descarregar de um tanque por um orifício, com a vazão em massa ≈ C ρ , em que ρ é a massa específica do ar no tanque e C e uma constante. Se ρ 0 é a massa específica inicial num tanque de volume V , deduza uma fórmula para a variação de massa específica ρ t após a abertura do orifício. Aplique sua fórmula ao seguinte caso: um tanque esférico de 50 cm de diâmetro, com pressão inicial de 300 kPa e temperatura de 100°C, e um orifício cuja descarga inicial é de 0,01 kg/s. Determine o tempo requerido para a massa específica do tanque cair 50%.

Passo 1

Lerigou para mais um exercício de mecflu? Mas fiquem tranquilos, vamos estar juntos nessa parada!

Note mais uma vez que no nosso volume e controle VC, não temos entrada, portanto nosso sistema será composto de vazão de saída e massa acumulada. Matematicamente devemos escrever que:

m ˙ e - m ˙ s = d ρ v d t → m ˙ s + d ρ v d t = 0

O enunciado nos diz que a vazão de saída pelo orifício é dada por C ρ e como também temos o volume de controle com volume constante, podemos dizer que:

d ρ v d t = - m ˙ s → v d ρ d t = - C ρ

Vamos separar essas variáveis e integrar depois?

∫ ρ 0 ρ d ρ ρ = - C v ∫ 0 t d t → ρ ρ 0 = exp ⁡ - C v t

Passo 2

Agora que encontramos a variação de densidade com o tempo, vamos aplicar as condições que o problema nos passou, beleza?

Primeiro, precisamos encontrar o valor da nossa constante C. Pra isso a gente tem que relembrar do que o enunciado diz:

m ˙ s = C ρ 0 = 0,01 = ρ 0 C

Mas quem é essa bendita densidade?

ρ 0 = p R T = 300000 287 373 = 2,8   k g / m ³

Logo,

0,01 = ρ 0 C → 0,01 2,8 = C → C = 0,00357   m 3 / s

Passo 3

Sabendo qual é o volume do tanque dado por: v = π 6 D 3 = π 6 0,5 3 = 0,00654   m 3

Agora é “lerigou” e ser feliz!!!

ρ ρ 0 = exp ⁡ - C v t → ln ⁡ ρ ρ 0 = - C v t → t = - ln ⁡ ρ ρ 0 v C = t

Bem, para que a massa específica caia 50% é só escrevermos que ρ = 0,5 ρ 0

- ln ⁡ 0,5 ρ 0 ρ 0 0,00654 0,00357 = t → t = 1,3   s

Resposta

t=1,3 s

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