Enunciado

O número de Richardson, Ri, que correlaciona a produção de turbulência pela flutuabilidade, é uma combinação adimensional da aceleração da gravidade g , da temperatura do fluido T 0 , do gradiente local de temperatura ∂ T / ∂ z e do gradiente local de velocidade ∂ u / ∂ z . Determine uma forma aceitável para o número de Richardson (muitos colocam ∂ T / ∂ z no numerador).

Passo 1

A questão fala que a correlação entre as grandezas é adimensional, então o lado direito dessa relação precisa ser adimensional como o lado esquerdo para que a equação seja homogênea.

Mas antes vamos usar a dica do enunciado, que fala que ∂ T / ∂ z é usado no numerador. Isso significa que a equação tem uma razão entre as grandezas que ela relaciona.

Vamos começar olhando as dimensões de cada grandeza:

∂ T ∂ z = Θ L

T 0 = Θ

g = L T 2

∂ u ∂ z = L / T L = 1 T

Passo 2

Podemos ver que se ∂ T / ∂ z está no numerador, T 0 precisa estar no denominador para cortar as temperaturas:

∂ T ∂ z T 0 = Θ L Θ = 1 L

Para fazermos o tempo no denominador da gravidade sumir, podemos colocar ela sobre o quadrado de ∂ u / ∂ z :

g ∂ u ∂ z 2 = L T 2 1 T 2 = L

Passo 3

Como dá para ver que sobrou dimensão de inverso de comprimento entre os termos da primeira parte e dimensão de comprimento na segunda parte, basta a gente fazer o produto de tudo para que a relação toda fique adimensional:

g ∂ T / ∂ z T 0 ∂ u / ∂ z 2

E como o lado esquerdo também é, então a equação é homogênea e podemos dizer que é uma forma aceitável, assim como o enunciado pede:

R i = g ∂ T / ∂ z T 0 ∂ u / ∂ z 2

Resposta

R i = g ∂ T / ∂ z T 0 ∂ u / ∂ z 2

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