1.

Uma equação diferencial para modelar a dinâmica da reação química em um reator plug-flow, é a seguinte:

u ∂ C ∂ x   = D ∂ 2 C ∂ x 2 - k C -   ∂ C ∂ t

na qual u é a velocidade, D é um coeficiente de difusão, k é a taxa de reação, x é a distância ao longo do reator e C é a concentração (adimensional) de um dado componente químico no reator. ( a ) Determine as dimensões apropriadas de D e k . ( b ) Usando um comprimento de escala L característico e uma velocidade média V como parâmetros, reescreva essa equação na forma adimensional e comente sobre quaisquer grupos pi que aparecerem.

Resolução
2.

Agora que já vimos como adimensionalizar equações usando o Teorema Pi, vamos adimensionalizar a primeira equação básica de Mecânica dos Fluidos: a Equação da Continuidade:

∇ ∙ V = 0

Sendo um escoamento com velocidade no infinito V ∞ ao redor de um cilindro de diâmetro D .

Resolução
3.

A equação diferencial para vibrações de pequena amplitude y ( x ,   t ) de uma viga simples é dada por

ρ A ∂ 2 y ∂ t 2   + E I ∂ 4 y ∂ x 4 = 0

em que

ρ = massa específica do material da viga

A = área da seção transversal

I = momento de inércia de área

E = módulo de Young

Use apenas as grandezas ρ ,   E e A para adimensionalizar y ,   x e t e reescreva a equação diferencial na forma adimensional. Alguns parâmetros permanecem? Eles poderiam ser eliminados por manipulações adicionais de variáveis?

Resolução
4.

A Equação de Torricelli é dada por:

V ² = V 0 2 + 2 a ∆ S

Encontre a sua forma adimensional.

Resolução
5.

Adimensionalize a equação da energia e sua condição de contorno definindo T * =   T / T 0 , em que T 0 é a temperatura de entrada, considerada constante. Use outras variáveis adimensionais, se necessário conforme indicado abaixo. Isole todos os parâmetros adimensionais que você encontrar e verifique se já são conhecidos.

Equação da Energia

ρ c p d T d t = k ∇ 2 T + Φ

Onde k é coeficiente de condutividade térmica e Φ é a função de dissipação viscosa

Condição de contorno

T f l u i d o = T p a r e d e

Variáveis adimensionais

x * = x L         y * = y L       z * = z L  

t * = t U L

Resolução
6.

A equação diferencial para o escoamento não viscoso compressível de um gás no plano xy é

∂ 2 ϕ ∂ t 2 + ∂ ∂ t u 2 + v 2 +   u 2 - a 2 ∂ 2 ϕ ∂ x 2 + v 2 - a 2 ∂ 2 ϕ ∂ y 2 + 2 u v ∂ 2 ϕ ∂ x ∂ y = 0

na qual ϕ é o potencial de velocidade e a é a velocidade (variável) do som do gás. Adimensionalize essa relação, usando um comprimento de referência L e a velocidade do som de entrada a 0 como parâmetros para definir variáveis adimensionais.

Resolução
7.

A equação diferencial da energia para escoamento bidimensional incompressível através de um meio poroso do “tipo Darcy” é aproximadamente

ρ c p σ μ ∂ p ∂ x ∂ T ∂ x + ρ c p σ μ ∂ p ∂ y ∂ T ∂ y + k ∂ 2 T ∂ y 2 = 0

em que σ é a permeabilidade do meio poroso. Todos os outros símbolos têm seus significados usuais. ( a ) Quais são as dimensões apropriadas para σ ? ( b ) Adimensionalize essa equação, usando ( L ,   U ,   ρ , T 0 ) como constantes de escala, e discuta quaisquer parâmetros adimensionais que aparecerem.

Resolução
8.

As equações de Navier-Stokes podem ser escritas na forma vetorial como:

ρ g → - ∇ p + μ ∇ ² V   = ρ d V d t

Adimensionalize a parcela transversal da equação para um escoamento bidimensional:

ρ g - ∂ p ∂ y + μ ∂ 2 v ∂ x 2 + ∂ 2 v ∂ y 2 = ρ d v d t

Sendo que o escoamento tem como referência um comprimento L , uma velocidade de entrada U e uma massa específica ρ .

Quais são os fatores adimensionais que apareceram?

Resolução

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