Enunciado

Um objeto bidimensional é submetido a condições isotérmicas nas suas superfícies esquerda e direita, como mostrado no esquema. As duas superfícies diagonais são adiabáticas e a profundidade do objeto é L = 100   m m .

a) Determine o fator de forma bidimensional para o objeto, para a = 10   m m e b = 12   m m .

b) Determine o fator de forma bidimensional para o objeto, para a = 10   m m e b = 15   m m .

c) Use a análise alternativa da condução da Seção 3.2 para estimar o fator de forma para os casos a) e b). Compare os valores dos fatores de forma aproximados da análise alternativa da condução com os fatores de forma bidimensionais das partes a) e b).

d) Para T 1 = 100 ° C e T 2 = 60 ° C , determine a taxa de transferência de calor por unidade de profundidade para k = 15   W / ( m · K ) , no caso das partes a) e b).

Passo 1

Letra a)

Para determinar o fator de forma bidimensional para o sistema dado, devemos ir até a Tabela 4.1 “Fatores de forma de condução e taxas de calor de condução sem dimensão para sistemas selecionados” e avaliar o Caso 11 (Canal quadrado de comprimento L ):

Restrição:

Dados:

a = 10   m m ;

b = 12   m m .

Temos

b a = 12 10 = 1,2 < 1,4

Então, S é dado por:

S = 2 π L 0,785 ln ⁡ b a

Como estamos trabalhando com 1 4 do objeto, temos:

S = 0,25 ⋅ 2 π L 0,785 ln ⁡ b a

Sendo:

L = 100   m m = 0,1   m .

Temos:

S = 0,25 ⋅ 2 π ⋅ 0,1 0,785 ln ⁡ 1,2

S = 1,098   m

Passo 2

Letra b)

Seguiremos o mesmo princípio da Letra a):

Restrição:

Dados:

a = 10   m m ;

b = 15   m m .

Temos

b a = 15 10 = 1,5 > 1,4

Então, S é dado por:

S = 2 π L 0,930 ln ⁡ b a - 0,050

Como estamos trabalhando com 1 4 do objeto, temos:

S = 0,25 ⋅ 2 π L 0,930 ln ⁡ b a - 0,050

Substituindo os dados:

S = 0,25 ⋅ 2 π ⋅ 0,1 0,930 ln ⁡ 1,5 - 0,050

S = 0,480   m

Passo 3

Letra c)

Consideraremos uma parede plana elementar de espessura muito pequena,  d x , a uma distância  x da origem dentro do objeto.

Tomaremos as temperaturas nas faces da parede elementar como  T e T + d T .

Em uma situação de estado estacionário, a taxa de transferência de calor, q t , através do objeto é constante. 

A taxa de transferência de calor através da parede elementar é dada da seguinte maneira:

q t = - k A d T d x

Aqui,  A é a área da seção transversal através da qual o calor flui, que é  2 L , então:

q t = - k 2 L d T d x

Separando as variáveis:

q t d x x = - 2 k L   d T

Integrando:

q t ∫ a b d x x = - 2 k L ∫ T 1 T 2 d T

q t ln ⁡ b a = 2 k L ( T 1 - T 2 )

q t = 2 k L T 1 - T 2 ln ⁡ b a

Temos que a taxa de transferência de calor em termos do fator de forma é dada como:

q t = S k ( T 1 - T 2 )

Igualando as equações:

2 k L T 1 - T 2 ln ⁡ b a = S k T 1 - T 2

Simplificando e isolando S :

S = 2 L ln ⁡ b a

Passo 4

Para a Letra a)

Dados:

a = 10   m m ;

b = 12   m m ;

L = 100   m m = 0,1   m .

Temos:

S = 2 ⋅ 0,1 ln ⁡ 1,2

S = 1,097   m

Para a Letra b)

Dados:

a = 10   m m ;

b = 1 5   m m ;

L = 100   m m = 0,1   m .

Temos:

S = 2 ⋅ 0,1 ln ⁡ 1 , 5

S = 0,493   m

Passo 5

Letra d)

Como dito no Passo 3, a taxa de transferência de calor em termos do fator de forma é dada como:

q t = S k ( T 1 - T 2 )

Dados:

T 1 = 100 ° C = 373   K ;

T 2 = 60 ° C = 333   K ;

k = 15   W / ( m · K ) .

Temos:

Para a Letra a)

q t = 1,098 ⋅ 15 ⋅ ( 373 - 333 )

q t = 659   W

Para a Letra b)

q t = 0,480 ⋅ 15 ⋅ ( 373 - 333 )

q t = 288   W

Resposta

a )   S = 1,098   m

b )   S = 0,480   m

c )   S = 1,097   m

S = 0,493   m

d )   q t = 659   W

q t = 288   W

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