Enunciado

Um objeto, com superfície inferior plana, move-se para baixo com velocidade U = 1,5   m / s dentro do jato de líquido do Problema 4.81. Determine a pressão mínima de suprimento necessária para produzir o jato de saída com velocidade V = 46   m / s . Calcule a pressão máxima exercida pelo jato líquido sobre o objeto plano no instante em que ele etá h = 0,46   m acima da saída do jato. Estime a força do jato de água sobre o objeto.

Passo 1

Vamos começar ilustrando o exercício adicionando a placa superior e algumas informações fornecidas no enunciado ao desenho de cima (note que o enunciado nos disse que V = 46   m / s , no entanto, no desenho temos V = 4,6   m / s , vamos usar a informação do desenho, pois é mais coerente com o resto dos dados do problema.

Tá legal, como temos regime permanente e fluxo uniforme entre as seções, podemos aplicar o princípio da continuidade entre os pontos 1 e 2:

Q 1 = Q 2 → v 1 A 1 = v 2 A 2 → v 1 = v 2 A 2 A 1

Agora vamos aplicar a equação de Bernoulli entre os pontos 1 e 2, dessa forma, temos:

p 1 ρ + v 1 2 2 + g z 1 = p 2 ρ + v 2 2 2 + g z 2

Como o enunciado não nos forneceu nenhuma informação a respeito das cotas z 1 e z 2 , então podemos desprezar a diferença entre elas. Sabemos também que o ponto 2 descarrega para a atmosfera, então podemos fazer p 2 = p a t m = 0 e assim obter a pressão manométrica em p 1 , dessa forma, a equação se torna:

p 1 ρ + v 1 2 2 = 0 ρ + v 2 2 2 → p 1 = v 2 2 2 - v 1 2 2

Agora vamos substituir a relação encontrada para as velocidades:

p 1 ρ = v 2 2 2 - 1 2 v 2 A 2 A 1 2 → p 1 = ρ v 2 2 2 [ 1 - A 2 A 1 2 ]

Substituindo os valores conhecidos:

p 1 = 999 4,6 2 2 1 - 650 1900 2 → p 1 = 9332,4   P a

Passo 2

Agora vamos calcular a pressão máxima exercida pelo jato líquido sobre o objeto plano no instante em que ele etá h = 0,46   m acima da saída do jato. Nós sabemos que a pressão máxima é a pressão de estagnação, que é dada por:

p 0 = p + ρ v 2 2

Onde, nesse caso, v é a velocidade com que o jato chega na placa com relação à própria placa. Para encontra-la, vamos aplicar a equação de Bernoulli entre os pontos 2 e 3, dessa forma, temos:

p 2 ρ + v 2 2 2 + g z 2 = p 3 ρ + v 3 2 2 + g z 3

Nesse caso como temos pressão ambiente nos pontos 2 e 3, os termos de pressão se cancelam e a equação se torna:

v 2 2 2 + g z 2 = v 3 2 2 + g z 3

Agora, substituindo os valores conhecidos:

4,6 2 2 + g 0 = v 3 2 2 + 9,81 0,46 → v 3 = 3,48   m / s

Então a velocidade relativa que precisamos será:

v r = v 3 - - U = 3,48 - - 1,5 → v r = 4,98   m / s

Substituindo os valores conhecidos na equação para a pressão de estagnação:

p 0 = p + ρ v 2 2 = 0 + 999 4,98 2 2 → p 0 = 12405,2   P a

Nesse caso, como a pressão estática em 3 é a pressão atmosférica, fizemos p = p a t m = 0 para encontrar uma pressão p 0 manométrica.

Passo 3

Agora para estimar a força do jato de água sobre o objeto vamos aplicar a equação da quantidade de movimento 4.18c para o volume de controle ilustrado abaixo:

E a equação tem a forma:

F z = F S z + F B z = ∂ ∂ t ∫ V C   w ρ d V + ∫ S C   w ρ V → . d A →

No nosso caso, estamos com um regime permanente, então podemos desprezar a primeira integral com a derivada no tempo, vamos desprezar também a ação da força de campo na direção z , de modo que F B z = 0 . Então a equação se torna:

- F 1 = - w 1 ρ v r A 3 + w 2 ( ρ v 4 A 4 )

E, nesse caso, sabemos que w 1 = v 3 + U = v r que foi encontrado no passo 2, e que w 2 = 0 pois não é na direção z , então a equação se torna:

- F 1 = - ρ v r 2 A 3 → F 1 = ρ v r 2 A 3

Como temos continuidade entre os pontos 2 e 3, podemos fazer:

Q 2 = Q 3 → v 2 A 2 = v 3 A 3 → A 3 = v 2 A 2 v 3

Substituindo os valores conhecidos, temos:

A 3 = 4,6 650.10 - 6 3,48 → A 3 = 8,59 . 10 - 4   m 2

Então, substituindo os valores conhecidos na equação para a força F 1 , temos:

F 1 = ρ v r 2 A 3 = 999 4,98 2 8,59 . 10 - 4 → F 1 = 21,3   N

Então, como o objeto se move para baixo com velocidade constante, ele está em equilíbrio, dessa forma, a força que o fluido exerce na placa deve ter o mesmo módulo de F 1 , só que de sentido oposto, então, como orientamos F 1 para baixo, então a força exercida pelo fluido será para cima e de intensidade:

F f = 21,3   N

Resposta

p 1 = 9332,4   P a

p 0 = 12405,2   P a

F f = 21,3   N

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