Enunciado

O painel curvo BC da Figura P2.96 é um arco de 60°, perpendicular ao fundo em C. Se o painel tiver 4 m de largura, calcule a força hidrostática resultante da água sobre o painel.

Passo 1

E aí, galera, tudo bem? MecFlu pode parecer difícil, mas cola aqui que eu vou te ajudar!

A primeira ideia que a gente tem que ter da questão é de qual assunto ela faz parte. Esse problema em específico é referente à seção 2.6 do livro, chamada “Forças sobre superfícies curvas”.

Pra entender a questão, dá uma olhada na figura do enunciado. Temos um painel curvo BC no formato de um arco de círculo de ângulo 60   ° , com um raio de 3   m e uma largura (imagina isso como uma terceira coordenada que “entra” dentro do papel) de b =   4   m .

A questão quer da gente a força hidrostática F que age sobre o painel. Para encontra-la, teremos que calcular as componentes horizontal ( F H ) e vertical ( F V ) dessa força nos próximos passos.

Então, vamo lá resolver essa questão juntos!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a componente horizontal F H . Para isso, devemos imaginar uma projeção em um ângulo de 90° com relação à direção dessa força, como na figura abaixo:

Observe que essa projeção é na verdade um retângulo, de base b = 4   m e altura 3 sen ⁡ 60 °   m , pois, como podemos ver pela figura, devemos utilizar relações trigonométricas para quantificar esta altura.

Sabendo disso, podemos definir a equação para calcular a componente vertical da força hidrostática:

F H =   γ h C G A p r o j

Sendo: γ o peso específico, que para água à temperatura ambiente é 9790 N m 3 ; h C G a distância do centro de massa com relação à superfície livre; e A p r o j a área do retângulo projetado.

Note, ainda, que h C G = 2   m + 3 × ( sen ⁡ 60 ° )   2   m , pois esta é a distância da superfície livre até o centro de massa da geometria onde queremos calcular a força hidrostática

Dessa forma, temos:

F H = 9790   N m 3 2   m + 3 × ( sen ⁡ 60 ° )   2   m   3 × ( sen ⁡ 60 ° )   m × 4   m = 335 . 633   N  

Passo 3

Agora vamos calcular a componente vertical F V .

Nesse caso, ela poderá ser calculada a partir da do que se chama peso da água “ausente”, ou seja, o peso que a água exerceria se o segmento de círculo estivesse preenchido com o fluido.

Pra entender melhor, veja a figura aí embaixo:

Para calcular F V teremos, então, que usar a seguinte equação:

F V = γ ( A r e t - A B D C ) b

Sendo: A r e t a área do retângulo que existiria se não houvesse o segmento B D C ; e A B D C a área do segmento B D C .

A área A r e t deve ser calculada a partir do uso de relações trigonométricas. Note que a altura do retângulo deve ser computada como 2 + B D , e sua base como C D = 3 - O D .

Mas , pelas relações do triângulo retângulo, B D = 3 sen ⁡ 60 ° e O D = 3 cos ⁡ 60 ° . Dessa maneira, podemos calcular A r e t desse jeito:

A r e t = 2 + B D × 3 - O D = 2 + 3 sen ⁡ 60 °   m × 3 - 3 cos ⁡ 60 °

A r e t = 6,897   m ²

Agora, para prosseguir com nossa resolução, vamo precisar calcular a área do segmento B D C . Veja, pela figura, que esse segmento nada mais é o do que a área do setor circular B O C menos área do triângulo retângulo B O D

A área do setor circular B O C é dada pela seguinte equação:

A B O C = θ 360 π R 2  

Sendo θ = 60 ° o ângulo do setor e R = 3   m seu raio.

Dessa maneira, temos:

A B O C = 60 360 π 3   m 2 = 4,71   m ²

Além disso, a gente pode calcular a área do triângulo retângulo B O D :

A B O D = 1 2 3 cos ⁡ 60 ° × 3 sen ⁡ 60 ° = 1,95   m ²

Pronto, agora podemos calcular a área da seção B D C :

A B D C = A B O C - A B O D = 4,71   m 2 - 1,95   m 2 = 2,76   m ²

E, finalmente, a gente vai conseguir calcular F V :

F V = γ ( A r e t - A B D C ) b = 9790   N m 3 6,897   m 2 - 2,76   m 2 4   m = 162 . 005   N

Ufa! Sei que esse passo foi meio longo, mas no próximo a gente vai encerrar o problema.

Passo 4

E pra finalizar a questão, iremos calcular a resultante da força hidrostática e sua linha de ação.

Primeiro, com as duas componentes F H e F V encontradas nos Passos 2 e 3, podemos calcular a resultante F   a partir do módulo dessas componentes:

F =   F H 2 + F V 2 = 335.633   N 2 + 162 . 005   N 2 = 372.686   N

Fazendo uma simples relação trigonométrica com o triângulo, podemos encontrar a resultante do ângulo α entre F H (eixo horizontal) e F :

t g α = c a t e t o   o p o s t o c a t e t o   a d j a c e n t e = F V F H = 162.005   N   335.633   N = 0 , 4827

→   α = a r c t g 0,1812 = 25,7 7 °

Além disso, como a geometria é uma seção circular, a linha de ação de F passa pelo ponto O apontando para baixo fazendo 25,77 ° com a horizontal.

Pronto, matamos a questão juntos!

Resposta

A força hidrostática resultante da água sobre o painel é F =   372.686   N , com sua linha de ação fazendo um ângulo de 25,77 ° com a horizontal e passando pelo ponto O

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