Enunciado

Se z é “para cima”, quais são as condições das constantes a e b para as quais o campo de velocidade u = a y , v = b x , w = 0 é uma solução exata das equações da continuidade e de Navier-Stokes para escoamento incompressível?

Passo 1

Simboraaaaaaaaaa! Bora juntos!

Bora começar pela continuidade, simbora. Cara, só pegar a equação, substituir o que foi dado e desenvolver, olha só:

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y + ∂ w ∂ z = 0

∂ ( a y ) ∂ x + ∂ ( b x ) ∂ x + ∂ ( 0 ) ∂ x = 0 + 0 + 0 = 0

Equação da continuidade satisfeita para todos a e b!

Passo 2

Bora pra Navier-Stokes!

Tendo g x = g y = 0 e w = 0 , vamos analisar apenas o momento em x e y, assim:

ρ u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y = - ∂ p ∂ x + μ ∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 = ρ a x 0 + b x a = - ∂ p ∂ x + μ ( 0 )

ρ u ∂ v ∂ x + v ∂ v ∂ y = - ∂ p ∂ y + μ ∂ 2 v ∂ x 2 + ∂ 2 v ∂ y 2 = ρ a y b + b x 0 = - ∂ p ∂ y + μ ( 0 )

Resolvendo,

∂ p ∂ x = - ρ a b x

∂ p ∂ y = - ρ a b y

Assim,

p = - ρ 2 a b x 2 + y 2 + C

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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