Enunciado

Muitos parques de recreação utilizam estruturas de “bolha” inflável. Uma bolha, cobrindo o equivalente a quatro quadras de tênis, tem grosseiramente o formato de um semicilindro com diâmetro de 30 m e comprimento de 70 m. Os sopradores usados para inflar a estrutura mantêm a pressão do ar no interior da bolha em 10 mm de coluna de água acima da pressão ambiente. A bolha está submetida a um vento que sopra a 60 km/h em uma direção perpendicular ao eixo do semicilindro. Usando coordenadas polares, com o ângulo θ medido a partir do solo sobre a face da bolha do lado que bate o vento, a distribuição de pressões resultante pode ser expressa como:

p - p ∞ 1 2 ρ V ∞ 2 = 1 - 4 s e n 2 θ

Em que p é a pressão na superfície, p ∞ é a pressão atmosférica, V ∞ é a velocidade do vento. Determine a força vertical resultante exercida sobre a estrutura.

Passo 1

O primeiro passo é descobrir qual é a pressão interna dentro da bolha, podemos fazer isso usando a informação da altura da coluna de água dada no enunciado, dessa forma:

p = p ∞ + ρ g Δ h → p - p ∞ = ρ g Δ h

Δ p = ρ g Δ h = 1,27 9,81 0,01 → Δ p = 0,124   P a

Passo 2

Então, conforme vimos no Problema 6.79, só teremos força na direção y , pois as outras forças vão se anular devido à simetria do problema. A força resultante atuante na barra pode ser encontrada integrando a distribuição de pressão p i - p ∞ na área conforme:

F R y = ∫ A   p i - p s e n θ   d A

Em que p i é a pressão interna e p é a pressão na superfície, nesse caso, como disse o enunciado, a pressão interna é dada por:

p i = p a t m + Δ p

Esse Δ p foi calculado no passo 1. Agora, a expressão dada no enunciado para a distribuição de pressão resultante é:

p - p ∞ 1 2 ρ V ∞ 2 = 1 - 4 s e n 2 θ

Em que p é a pressão na superfície, então, isolando p , temos:

p = ρ V ∞ 2 2 1 - 4 s e n 2 θ + p ∞

Então, substituindo as expressões para p i e p na integral, temos:

F R y = ∫ A   p i - p s e n θ   d A = ∫ A   p a t m + Δ p - ρ V ∞ 2 2 1 - 4 s e n 2 θ - p ∞ s e n θ   d A

Podemos cancelar os termos p a t m e p ∞ , pois eles representam a mesma coisa.

F R y = ∫ A   Δ p - ρ V ∞ 2 2 1 - 4 s e n 2 θ s e n θ   d A

E, nesse caso, podemos escrever o diferencial de área em função de θ como:

d A = L R d θ

Substituindo essa expressão na integral:

F R y = ∫ 0 π Δ p s e n θ - ρ V ∞ 2 2 s e n θ - 4 s e n 3 θ L R d θ

Podemos separar a integral em duas:

F R y = ∫ 0 π Δ p s e n θ L R d θ + ∫ 0 π - ρ V ∞ 2 2 s e n θ - 4 s e n 3 θ L R d θ

F R y = Δ p L R ∫ 0 π s e n θ d θ - ρ V ∞ 2 L R 2 ∫ 0 π s e n θ - 4 s e n 3 θ d θ

Passo 3

Resolvendo a integral do passo 2, temos:

F R y = Δ p L R - cos ⁡ θ 0 π - ρ V ∞ 2 L R 2 4 cos ⁡ θ - 4 cos 3 ⁡ θ 3 0 π + - cos ⁡ θ 0 π

Substituindo os limites de integração, mas em uma integral de cada vez, temos:

Δ p L R - cos ⁡ θ 0 π = Δ p L R - cos ⁡ π - - cos ⁡ 0

Δ p L R - cos ⁡ θ 0 π = Δ p L R - - 1 - - 1 → - Δ p L R - cos ⁡ θ 0 π = 2 Δ p L R

E, para a outra parcela, temos:

- ρ V ∞ 2 L R 2 4 cos ⁡ π - 4 cos 3 ⁡ π 3 - 4 cos ⁡ 0 - 4 cos 3 ⁡ 0 3 + - cos ⁡ π - - cos ⁡ 0

- ρ V ∞ 2 L R 2 - 4 + 4 3 - 4 - 4 3 + 1 - - 1

- ρ V ∞ 2 L R 2 - 8 3 - 8 3 + 2 → - ρ V ∞ 2 L R 2 - 16 3 + 2

E, finalmente, temos:

- ρ V ∞ 2 L R 2 4 cos ⁡ θ - 4 cos 3 ⁡ θ 3 0 π + - cos ⁡ θ 0 π = - ρ V ∞ 2 L R 2 - 10 3 = 5 ρ V ∞ 2 L R 3

Então, substituindo os valores das expressões na equação para F R y , temos:

F R y = Δ p L R - cos ⁡ θ 0 π - ρ V ∞ 2 L R 2 4 cos ⁡ θ - 4 cos 3 ⁡ θ 3 0 π + - cos ⁡ θ 0 π

F R y = 2 Δ p L R + 5 ρ V ∞ 2 L R 3

Passo 4

Então, substituindo os valores conhecidos na equação para a equação da força encontrada no passo 3, temos:

F R y = 2 Δ p L R + 5 ρ V ∞ 2 L R 3 = 2 0,124 70 15 + 5 1,2 7 60 3,6 2 70 15 3

F R y = 260,4 + 37041,7 → F R y = 37302,1   N

Resposta

F R y = 37302,1   N

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