Enunciado

21 – A partir do balanço de energia um elemento de volume de casca cilíndrica, derive a equação de condução de calor unidimensional permanente para um longo cilindro com condutividade térmica constante, no qual o calor é gerado a uma taxa e ˙ g e r a d o .

Passo 1

Considere que um elemento de casca cilíndrica fina de espessura r em um cilindro longo é como mostrado abaixo:

Passo 2

Considerações:

1) Unidimensional

2) estado estacionário

3) Condutividade térmica constante

4) Com geração interna de calor

Expresse a área do cilindro normal à direção da transferência de calor em qualquer local  A = 2 π r L .

Aqui, L  é o comprimento do cilindro,  r  é o raio do cilindro.

Como a área de transferência de calor  A  depende de  r  neste caso, então, o calor varia com o local.

Passo 3

Aplique o balanço energético a este elemento cilíndrico fino de espessura  r   durante um pequeno intervalo de tempo  t .

Q ˙ r - Q ˙ r + ∆ r + E ˙ g e r a d o = ∆ E e l e m e n t o ∆ t

Q ˙ r - Q ˙ r + ∆ r + e g e r a d o × V = ∆ E e l e m e n t o ∆ t

Aqui, Q ˙ é a transferência de calor, E ˙ g e r a d o é a geração interna de calor e ∆ E e l e m e n t o é a energia interna.

Escreva a mudança na energia interna usando a expressão:

∆ E e l e m e n t o = E t + ∆ t - E t

= m c p ( T t + ∆ t - T t )

= ρ × V c p T t + ∆ t - T t

= ρ × A ∆ r c p T t + ∆ t - T t

Aqui, ρ é a densidade, c p é o calor específico do material, V é o volume.

Passo 4

Vamos agora, substituir os valores conhecidos no balanço energético,

Q ˙ r - Q ˙ r + ∆ r + e g e r a d o × V = ∆ E e l e m e n t o ∆ t

Q ˙ r - Q ˙ r + ∆ r + e g e r a d o × ( A ∆ r ) = ρ c p A ∆ r T t + ∆ t - T t ∆ t

Dividindo os dois lados por A ∆ r temos:

- 1 A   Q ˙ r - Q ˙ r + ∆ r ∆ r + e g e r a d o = ρ c p T t + ∆ t - T t ∆ t … … … . .   ( 1 )

Tomando os limites como ∆ r → 0 e ∆ t → 0 . Vamos dividir e resolver cada parte;

lim ∆ r → 0 ⁡ Q ˙ r - Q ˙ r + ∆ r ∆ r = ∂ Q ∂ r

= ∂ ∂ r - k A ∂ T ∂ r

E a segunda parte,

lim ∆ r → 0 ⁡ T t + ∆ t - T t ∆ t = ∂ T ∂ t

Juntando as duas partes, temos que a equação (1) se torna

1 A ∂ ∂ r k A ∂ T ∂ r = ρ c p ∂ T ∂ t

Substituindo A = 2 π r L

1 2 π r L ∂ ∂ r k 2 π r L ∂ T ∂ r + e g e r a d o = ρ c p ∂ T ∂ t

k r ∂ ∂ r r ∂ T ∂ r + e g e r a d o = ρ c p ∂ T ∂ t

1 r ∂ ∂ r r ∂ T ∂ r + e g e r a d o = ρ c p k ∂ T ∂ t

1 r ∂ ∂ r r ∂ T ∂ r + e g e r a d o = 1 ∝ ∂ T ∂ t

Aqui a propriedade ∝ = k ρ c p é a difusividade térmica do material.

Portanto, a equação unidimensional de condução de calor com condutividade térmica constante e geração interna de calor no cilindro é

1 r ∂ ∂ r r ∂ T ∂ r + e g e r a d o = 1 ∝ ∂ T ∂ t

Resposta

Portanto, a equação unidimensional de condução de calor com condutividade térmica constante e geração interna de calor no cilindro é

1 r ∂ ∂ r r ∂ T ∂ r + e g e r a d o = 1 ∝ ∂ T ∂ t

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