Enunciado

A perda de carga de determinado tubo circular é dada por h L = 0,0826 f L V ˙ 2 / D 5 , onde f é o fator de atrito (adimensional), L é o comprimento do tubo, V ˙ é a vazão volumétrica e D é o diâmetro do tubo. Determine se 0,0826 é uma constante dimensional ou adimensional. Essa equação é dimensionalmente homogênea como está?

Passo 1

O enunciado apresenta uma fórmula para calcular a perda de carga h L .

h L = 0,0826 ⋅ f ⋅ L ⋅ V ˙ 2 D 5  

Analisando essa fórmula, a questão pede que a gente descubra se a constante 0,0826 tem uma dimensão (ou seja, se o seu valor tem uma unidade de medida) e se a dimensão de h L está igual à dimensão do lado direito da equação (ou seja, se a equação é homogênea).

Para responder esses dois questionamentos, temos que verificar qual é a dimensão de cada termo.

Passo 2

Abaixo se encontram as dimensões de cada termo. Vale ressaltar que L é a dimensão de comprimento, t é a dimensão de tempo, 1 indica que o termo é adimensional e os colchetes indicam “as dimensões de”.

h L = L

f = 1

L = L

V ˙ = L 3 t

D = L

Passo 3

Podemos substituir essas dimensões na equação de h L para descobrir a dimensão de 0,0826 .

h L = 0,0826 ⋅ f ⋅ L ⋅ V ˙ 2 D 5     ⟹       h L = 0,0826 ⋅ f ⋅ L ⋅ V ˙ 2 D 5

L = 0,0826 ⋅ 1 ⋅ L ⋅ L 3 t 2 L 5

0,0826 = t 2 L

A equação acima mostra que 0,0826 tem dimensão igual a t 2 L . Ou seja, ela não é adimensional (se fosse teria dimensão 1 ). Ela é uma constante dimensional!

Passo 4

Para verificar se a equação é homogênea, temos que ver se a dimensão do lado esquerdo da equação é igual à dimensão do lado direito.

h L = 0,0826 ⋅ f ⋅ L ⋅ V ˙ 2 D 5     ⟹       h L = 0,0826 ⋅ f ⋅ L ⋅ V ˙ 2 D 5

L = t 2 L ⋅ 1 ⋅ L ⋅ L 3 t 2 L 5

L = L

Os dois lados da equação têm a mesma dimensão, logo a equação é homogênea!

Resposta

0,0826 é uma constante dimensional. A equação é homogênea.

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