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O perfil da seção reta de uma canoa é modelado pela curva y = a x 2 , em que a = 3,89 m–1 e as coordenadas são medidas em pés. Suponha que a largura da canoa tenha valor constante w = 0,6 m em todo o seu comprimento L = 5,25 m. Estabeleça uma expressão algébrica geral relacionando a massa total da canoa e seu conteúdo com a distância d entre a superfície da água e a borda da canoa. Calcule a massa total máxima para que a canoa não afunde.

Passo 1

Temos um modelo de seção transversal da canoa como uma parábola, onde devemos assumir a largura constante W em todo o comprimento L , sendo assim, teremos

y = a x 2 a = 3,89   m - 1 W = 0,6   m L = 5,25   m

Vamos encontrar a expressão que relaciona a massa total de canoa e o conteúdo à distância d e determinar a massa total permitida sem inundar a canoa. Para isso, aplicaremos as equações hidrostáticas neste sistema.

d p d h = ρ g (pressão hidrostática, onde h é positivo para baixo em superfície livre)

F v = ∫ p d A y (força hidrostática vertical)

As considerações são: fluido estático e incompressível; a pressão atmosférica atua na superfície livre da água e no interior superfície da canoa.

Em qualquer valor de d , o peso da canoa e seu conteúdo são equilibrados pela força vertical líquida da água na canoa.

Passo 2

Integrando a equação da pressão hidrostática, p = ρ g h :

F v = ∫ ρ g h L d x , onde h = H - d - y

Para determinar o limite superior de integração, lembramos que y = a x 2 na superfície

y = H - d . Portanto, x = H - d a e, portanto, a força vertical é:

F v = 2 ∫ 0 H - d a ρ g H - d - a x 2 L d x

= 2 ρ g L H - d 3 2 a - a 3 H - d 3 2 a

Simplificando, vamos ter:

F v = 2 ρ g L × H - d 3 2 a × 1 - 1 3 = 4 ρ g L 3 a H - d 3 2 = M g        

Ou...

M = 4 ρ L 3 a H - d 3 2

O limite para nenhuma inundação é d = 0 e, portanto:

M = 4 3 × 999 k g m 3 × 5,25   m × m 3,89 × 0,35 3 2       ∴       M = 734   k g

Isso não fica na margem, portanto, se definirmos d = 0,2   m , obteremos

M = 4 3 × 999 k g m 3 × 5,25   m × m 3,89 × 0 , 1 3 2       ∴       M = 206   k g

Portanto, a resposta é altamente dependente do risco permitido de inundação.

Resposta

M = 734   k g

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