Enunciado

O perfil de velocidade para escoamento completamente desenvolvido de tetracloreto de carbono a 15°C entre placas paralelas (espaçamento a = 1,25 mm), com a placa superior em movimento, é dado pela Eq. 8.8. Considere uma vazão volumétrica por unidade de 3,15×10 −4 m3 /s/m para gradiente de pressão zero. Encontre a velocidade U. Avalie a tensão de cisalhamento sobre a placa inferior. A vazão volumétrica aumentaria ou diminuiria com um ligeiro gradiente adverso de pressão? Calcule o gradiente de pressão que dará tensão de cisalhamento zero em y/a = 0,25. Esboce a distribuição de tensão de cisalhamento para este caso.

Passo 1

Sabendo que a vazão volumétrica é dada por:

Q l = U a 2 - 1 12 μ ∂ p ∂ x a 3

E que enunciado diz que Q / l = 3,15 X 10 - 4 m 3 / s / m ,   que o gradiente de pressão é zero, ou seja ∂ p / ∂ x = 0 e que a = 1,25 m m = 0,00125 m

Substituindo, temos:

3,15 X 10 - 4 = U 0,00125 2 - 0

6,30 X 10 - 4 = U 0,00125

U = 0,504 m / s / m

Logo, a velocidade U é:

U = 0,504 m / s

Passo 2

Sabendo que a tensão de cisalhamento é:

τ x y = μ U a + a 2 2 ∂ p ∂ x 2 y a 2 - 1 a

E que ∂ p / ∂ x = 0 , a = 0,00125 m , que descobrimos a velocidade U = 0,504 m / s / m e que para tetracloreto de carbono a 15°C a viscosidade é μ = 0,001 N . s / m ²

Substituindo, temos:

τ y x = 0,001 0,504 0,00125 + 0

τ y x = 0,403 P a

Logo, a tensão de cisalhamento sobre a placa inferior é:

τ y x = 0,403 P a

Passo 3

Sabendo que a formula da vazão é:

Q l = U a 2 - 1 12 μ ∂ p ∂ x a 3

Se tivermos um gradiente adverso ∂ p / ∂ x , a vazão vai reduzir. Porque esse gradiente está subtraindo na equação.

Passo 4

Sabendo que a tensão de cisalhamento é:

τ x y = μ U a + a 2 2 ∂ p ∂ x 2 y a 2 - 1 a

Para τ x y = 0 , a = 0,00125 m , μ = 0,001 N . s / m ² , U = 0,504 m / s / m e y / a = 0,25 ou seja y = 0,000312 m

Substituindo, temos:

0 = 0,001 0,504 0,00125 + 0,00125 2 2 ∂ p ∂ x 2.0,000312 0,00125 2 - 1 0,00125

0 = 0,4032 + 7,81 X 10 - 7 ∂ p ∂ x - 400,64

- 0,000313 ∂ p ∂ x = 0,4032

∂ p ∂ x = 1288,6   P a / m

Logo, o gradiente de pressão que dará tensão de cisalhamento zero é:

∂ p ∂ x = 1,29   k P a / m

Passo 5

Para esboçar a distribuição de tensão, podemos usar y / a = 0,25 , τ x y = 0 e calcular mais um ponto para y / a = 0 :

τ x y = μ U a + a 2 2 ∂ p ∂ x 2 y a 2 - 1 a

τ x y = 0,001 0,504 0,00125 + 0,00125 2 2 1288,6 . 0 - 1 0,00125

τ x y = - 0,402 P a

Com isso podemos encontrar uma equação a x + b = y que é 0,622 x + 0,25 = y e fazer o gráfico abaixo.

Resposta

U = 0,504 m / s         ∂ p ∂ x = 1,29   k P a / m     ;     τ x y = - 0,402 P a

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