Enunciado

Uma placa retangular bidimensional está sujeita às condições de contorno mostradas. Derive expressões para a distribuição de temperatura em estado estacionário T x ,   y e a distribuição de fluxo de calor em estado estacionário q ' ' x ,   y = b para 0 ≤ x ≤   a .

Passo 1

Fala Pessoal!! Vem comigo fazer mais uma questão!!

Estamos interessados na distribuição de temperaturas T x ,   y , a equação diferencial é a seguinte:

∂ 2 T ∂ x 2 + ∂ 2 T ∂ y 2 = 0                         E q .   1

Como a equação é de segunda ordem em x e em y, duas condições de contorno são necessárias para cada uma das coordenadas. São elas

T 0 , y = 0

T a , y = 0

T x , 0 = 0

T x . b = A x

A solução pretendida pode ser escrita como o produto de duas funções, uma delas dependente somente de x e a outra somente de y . Isto é, consideramos a existência de uma solução com a forma

T x ,   y = X x ⋅ Y y

Substituindo na Equação 1 e dividindo por X Y , obtemos

- 1 X ∂ 2 X ∂ x 2 = 1 Y ∂ 2 Y ∂ y 2 = 0    

a equação diferencial é separável. Isto é, o lado esquerdo da equação depende somente de x e o lado direito depende exclusivamente de y . A igualdade se aplica somente se ambos os lados forem iguais a uma mesma constante. Podemos arbitrar, por λ 2 , temos então

∂ 2 X ∂ x 2 + λ 2 X = 0

∂ 2 Y ∂ y 2 - λ 2 Y = 0

As soluções gerais para duas equações ordinárias acima são, respectivamente

X = C 1 cos ⁡ λ x + C 2 sen ⁡ λ x

Y = C 3 e - λ y + C 4 e λ y

e, neste caso, a forma geral da solução bidimensional é

T = C 1 cos ⁡ λ x + C 2 sen ⁡ λ x C 3 e - λ y + C 4 e λ y

Aplicando a condição T 0 ,   y = 0 , fica evidente que C 1 = 0 . Além disso, em função da exigência de que T x ,   0 = 0 , obtemos

C 2 sen ⁡ λ x C 3 + C 4 = 0

que somente pode ser satisfeita se C 3 = - C 4 . Embora esta exigência também pudesse ser satisfeita tendo-se C 2 = 0 , isso resultaria em T x ,   y = 0 , o que não satisfaz a condição de contorno T x ,   b = A x . Se agora usamos a exigência de que T a ,   y = 0 , obtemos

C 4 C 2 sen ⁡ a λ e λ y - e - λ y = 0

A única forma na qual essa condição pode ser satisfeita, exigi que λ assuma valores discretos para os quais sen ⁡ ( a λ ) = 0 . Esses valores devem, então, ter a forma

λ = n π a                   n = 1 ,   2 ,   3 ,   …  

A solução desejada pode, agora, ser escrita como

T x ,   y = C 4 C 2 sen ⁡ n π a e n π a y - e - n π a y

Usando o fato de que

( e n π a y - e - n π a y )   =   2   s e n h   ( n π y / a )

T x ,   y = 2 C 4 C 2 sen ⁡ n π a senh ⁡ n π y a  

Combinando as constantes e reconhecendo que a nova constante pode depender de n , obtemos

T x ,   y = C n sen ⁡ n π a senh ⁡ n π y a

Contudo, como o problema é linear, uma solução mais geral pode ser obtida por uma superposição na forma

T x ,   y = ∑ n = 1 ∞ C n sen ⁡ n π a senh ⁡ n π y a

Para determinar C n de modo que satisfaça a condição de contorno restante, usamos as funções ortogonais com Equação 4.16. Temos que:

C n = ∫ 0 a A x sen ⁡ n π x a d x senh ⁡ n π b a ∫ 0 a sen 2 ⁡ n π x a d x

Observando que y = b e integrando, temos que C n é o seguinte:

C n = A a 2 n π - 1 n + 1 a 2 senh ⁡ n π b a = 2 A a - 1 n + 1 n π senh ⁡ n π b a

Substituindo C n temos:

T x ,   y = ∑ n = 1 ∞ 2 A a - 1 n + 1 n π senh ⁡ n π b a sen ⁡ n π a senh ⁡ n π y a

T x ,   y = 2 A a π ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 n sen ⁡ n π a   senh ⁡ n π y a senh ⁡ n π b a

Passo 2

a taxa de calor por unidade de espessura da placa ao longo da superfície inferior pode ser obtida pela seguinte expressão:

q ' ' = - ∫ x = 0 x = a d q y ' x , b

q ' ' = - ∫ x = 0 x = a - k ∂ T ∂ y y = 0 d x

q ' ' = k ∫ x = 0 x = a ∂ T ∂ y y = 0 d x

Da distribuição de temperatura

T x ,   y = 2 A a π ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 n sen ⁡ n π a   senh ⁡ n π y a senh ⁡ n π b a

Substituindo a distribuição de temperatura na expressão encontrada, temos:

q ' ' = k ∫ x = 0 x = a 2 A a π ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 n sen ⁡ n π a   senh ⁡ n π y a senh ⁡ n π b a y = b d x

Integrando, temos:

q ' ' = k 2 A a π ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 n 1 senh ⁡ n π b / a - cos ⁡ n π x a x = b a

q ' ' = k 2 A a π ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 n 1 senh ⁡ n π b / a cos ⁡ n π - cos ⁡ n π b a

Resposta

T x ,   y = 2 A a π ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 n sen ⁡ n π a   senh ⁡ n π y a senh ⁡ n π b a

q ' ' = k 2 A a π ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 n 1 senh ⁡ n π b / a cos ⁡ n π - cos ⁡ n π b a

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