Enunciado

Um aquecedor de ar pode ser fabricado pelo enrolamento de um fio de níquel cromo e passagem do ar em escoamento cruzado ao fio. Considere um aquecedor fabricado com um fio de diâmetro D = 2   m m , resistividade elétrica, ρ e = 10 - 6   Ω · m , condutividade térmica, k = 25   W / m · K , e emissividade ε = 0,20 . O aquecedor é projetado para fornecer ar a uma temperatura de T ∞ = 6 0 ℃ sob condições de escoamento que fornecem um coeficiente convectivo de h = 250   W / m 2 · K na superfície do fio. A temperatura do envoltório que envolve o fio e através do qual o ar escoa é igual a T v i z = 6 0 ℃ .

Se a temperatura máxima admissível do fio é igual a T m á x = 1 0 00 ℃ , qual é a corrente elétrica máxima admissível, I ? Se a voltagem máxima disponível é de Δ E = 110   V , quais são o comprimento L do fio que pode ser usado no aquecedor e a potência nominal do aquecedor? Sugestão: Na sua solução, suponha variação de temperatura no interior do fio desprezível, mas após obter os resultados desejados, avalie a validade desta suposição.

Passo 1

Fala Galera!! Bora resolver essa questão comigo??

Nessa questão queremos determinar a corrente elétrica operacional máxima admissível, o comprimento do fino no aquecedor e potência nominal do aquecedor.

PRESSUPOSTOS:

(1) Estado estacionário;

(2) Temperatura uniforme do fio;

(3) Propriedades constantes;

(4) Troca de radiação em ambientes grandes.

DADOS FORNECIDOS:

Diâmetro do fio de níquel cromo do aquecedor: D = 2   m m

Raio do fio de níquel cromo do aquecedor: r o = 1   m m = 1 × 10 - 3   m

Resistividade elétrica: ρ e = 10 - 6   Ω · m

Emissividade: ε = 0,20

Condutividade térmica do fio de níquel cromo: k = 25   W / m · K

Coeficiente convectivo entre o ar e o fio: h c o n v = 250   W / m 2 · K

Temperatura do ar fornecida pelo aquecedor: T ∞ = 6 0 ℃ = 3 3 3   K

Temperatura do envoltório que envolve o fio através do qual o ar escoa: T v i z = 6 0 ℃ = 3 3 3   K

Temperatura máxima admissível do fio: T m á x = T s = 1 0 00 ℃ = 1 2 73   K

Voltagem máxima disponível: Δ E = 110   V

Passo 2

Para resolver essa questão, vamos assumir uma temperatura uniforme do fio, assim,

T m á x = T   r = 0 = T o = T s

Temos também que a geração volumétrica máxima de calor pode ser obtida pela equação 3.60

T s = T ∞ + q ˙ r o 2 h

onde h é o coeficiente total de transferência de calor, h = h c o n v + h r a d , usado no lugar do coeficiente de convecção h da formula acima.

Passo 3

Agora, vamos calcular a o coeficiente de transferência de calor por radiação usando a seguinte relação:

h r a d = ε σ T s + T v i z T s 2 + T v i z 2

Aqui,  ε é emissividade,  σ é a constante Boltzmann de Stefan,  T s é a temperatura da superfície e  T v i z é a temperatura do envoltório que envolve o fio. Substituindo os termos da equação acima pelos dados fornecidos, temos:

h r a d = 0,20 5,67 × 10 - 8 1 2 73 + 3 3 3 1 2 73 2 + 3 3 3 2

h r a d = 31 , 5 3   W / m 2 ⋅ K

Assim, temos que o coeficiente total de transferência de calor é o seguinte:

h = h c o n v + h r a d

h = 250   W / m 2 ⋅ K + 31,53   W / m 2 ⋅ K

h = 2 81 , 5 3   W / m 2 ⋅ K

Passo 4

Com o coeficiente total de transferência de calor, podemos obter a taxa máxima de geração de energia por unidade de volume usando a expressão citada no passo 2. Assim temos:

T s = T ∞ + q ˙ r o 2 h

q ˙ m á x = 2 h r o T s - T ∞

Substituindo os termos da equação acima pelos dados fornecidos, temos:

q ˙ m á x = 2 281 , 53   W / m 2 ⋅ K 1 × 10 - 3   m 1 2 73   K - 3 3 3   K

q ˙ m á x = 5 , 29 × 10 8   W / m 3

Passo 5

Podemos calcular a corrente elétrica operacional máxima permitida, usando a equação 3.43, em que:

q ˙ = E g ˙ V = I 2 R e V

Aqui, R e é a resistência elétrica, I é a corrente elétrica e V é o volume do fio.

q ˙ = I 2 ρ e L / A c L A c = I 2 ρ e A c 2

Reorganizando, temos:

I 2 = q ˙ ρ e A c 2 = q ˙ ρ e π r o 2 2

I = q ˙ ρ e 1 2 π r o 2

I m á x = q ˙ m á x ρ e 1 2 π r o 2

Aqui, ρ e é a resistividade elétrica e r o é o raio do fio. Substituindo os termos da equação acima pelos dados fornecidos, temos:

I m á x = 5,29 × 10 8   W / m 3 10 - 6   Ω · m 1 2 π 1 × 10 - 3   m 2

I m á x = 72,3   A

Portanto, a corrente operacional máxima permitida é  72,3   A .

Passo 6

Podemos calcular o comprimento do fio do aquecedor correspondente à corrente de operação utilizando a seguinte relação:

∆ E = I R e = I ρ e L / A c

Reorganizando:

L = ∆ E ⋅ A c I m á x ρ e

L = ∆ E ⋅ π r o 2 I m á x ρ e

Aqui,  ∆ E é a tensão máxima disponível,  A c é a área da seção transversal,  I m á x é a corrente elétrica máxima permitida,  ρ e é a resistividade elétrica e r o é o raio do fio do aquecedor. Substituindo os termos da equação acima pelos dados fornecidos, temos:

L = π 110   V 1 × 10 - 3   m 2 72,3   A 10 - 6   Ω · m

L = 4 , 7 8   m

Portanto, o comprimento do fio do aquecedor é  4,78   m .

Passo 7

Agora, vamos calcular a potência nominal do aquecedor usando a seguinte relação:

P e l é t r i c a = ∆ E ⋅ I m á x

Aqui  ∆ E é a mudança no potencial elétrico e  I m á x é a corrente operacional máxima permitida. Substituindo os termos da equação acima pelos dados fornecidos, temos:

P e l é t r i c a = 110   V 72,3     A

P e l é t r i c a = 7950,34   W

P e l é t r i c a = 7 , 95   k W

Portanto, a potência nominal do aquecedor é  7,95   k W .

Resposta

I m á x = 72,3   A

L = 4,78   m

P e l é t r i c a = 7,95   k W

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