Enunciado

Do Problema P4.15, o escoamento puramente radial em coordenadas polares que satisfaz a continuidade é v r = f ( θ ) / r , em que f é uma função arbitrária. Determine quais as formas particulares de f ( θ ) que satisfazem as equações de Navier-Stokes completas na forma de coordenadas polares das Equações (D.5) e (D.6).

Passo 1

Beleza, vamo lá pra mais uma!

No apêndice D podemos encontrar essas equações ditas no enunciado, vo colocar elas aqui pra gente!

Equação da quantidade de movimento-r:

∂ v r ∂ t + V ⋅ ∇ v r - 1 r v θ 2 = - 1 ρ ∂ p ∂ r + g r + v ∇ 2 v r - v r r 2 - 2 r 2 ∂ v θ ∂ θ

Equação da quantidade de movimento- θ :

∂ v θ ∂ t + V ⋅ ∇ v θ - 1 r v θ v r = - 1 ρ r ∂ p ∂ θ + g θ + v ∇ 2 v θ - v θ r 2 - 2 r 2 ∂ v r ∂ θ

Bora colocar nossa v r ai dentro de cada um! Iremos obter o seguinte, nas equações em r e em θ , respectivamente:

∂ p ∂ r = ρ r 3 f 2 + μ r 3 f ' '

∂ p ∂ θ = 2 μ r 2 f '

Passo 2

Utilizando o Teorema de Clairaut-Schwarz para fazer uma derivada cruzada, chegaremos na seguinte equação diferencial, da uma olhadela:

μ f ' ' ' + 2 ρ f f ' + 4 μ f ' = 0

Vamos ter dois tipos de solução para essa EDO, uma mais tranquila a outra o cão chupando manga, teremos uma sendo:

f = c o n s t a n t e → v r = c o n s t a n t e r

Já a outra solução e uma solução elíptica integral, elas variam em muitas formas com θ , vão representar o fluxo Jeffery-Hamel!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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