Enunciado

Em um processo de têmpera, uma lâmina de vidro que se encontra inicialmente a uma temperatura uniforme T i é resfriada pela redução súbita da temperatura em ambas as superfícies para T s . A lâmina tem uma espessura de 10 m m e o vidro tem uma difusividade térmica de 6 × 10 - 7 m 2 / s .

  1. Quanto tempo levará até que a temperatura no plano central da lâmina atinja 75 % da sua máxima redução de temperatura possível?
  2. Se T i - T s = 300 ° C , qual é o máximo gradiente de temperatura no vidro no instante de tempo calculado na parte(a)?

Passo 1

Faaaaalaaa coleguinha... bora de mais uma questãozinha de transporte de energia!!

Esse exercício é bem tranquilo, a grande charada dele está em perceber que, ao nos dizer processo de têmpera, significa que podemos supor que o coeficiente de transferência por convecção, ou seja nosso querido h , assume valores muito maiores do que a nossa condutividade térmica ( k ) . Com isso podemos basicamente dizer que h → ∞ , e então jogando na nossa formulinha de B i :

B i = h   d c k → ∞

Show de bola né?! Essa é a única peculiaridade desse exercício. Com essa informação, podemos ir na tabela 5.1 na teoria do livro, e encontrar que:

ξ = 1,5708 r a d

E

C 1 = 1,2733

Passo 2

Então, de posse desses dois jovens, podemos encontrar nosso F o :

T 0 - T s T i - T s = C 1 e - ξ 1 2 F o

Passando o famoso ln em ambos os lados, encontramos:

ln ⁡ 0,75 1,2733 =   - 1,5708 2 F o

-

Chegamos em:

F o = 0,2145 > 0,2

Notinha de rodapé: Lembre-se que T 0 - T s T i - T s representa a divisão de uma diferença de temperatura pela máxima diferença de temperatura possível. Então esse valor representa uma porcentagem da máxima variação de temperatura. E é exatamente isso que o enunciado chama de 75 % . Pegou a idéia?? Seguimooss!!

Lembrando da fórmula de Fourier:

F o = α t L 2

Como, α = 6 × 10 - 7 m 2 / s , teremos:

t = 0,2145 0,01 2 6 × 10 - 7 m 2 = 35,75 s e g

Bem tranquilo né?! Mas calma que ainda temos a alternativa (b). Vamos lá!!

Passo 3

Nesse item, o que o enunciado nos pede é o máximo gradiente de temperatura. Se você se lembrar, podemos achar esse cara da seguinte forma:

∂ T ∂ x m á x i m o = T i - T s L ∂ θ * ∂ x *

Ou seja, precisamos achar a derivada parcial de:

θ * = C 1 e - ξ 1 2 F o cos ⁡ ξ 1 x *

Lembra?! Deriva o que tá dentro do cosseno e a derivada do cosseno é - sin ⁡ x , ta lembrado??

∂ θ * ∂ x * = - ξ 1 C 1 e - ξ 1 2 F o sin ⁡ ξ 1 x *

Temos todos esses carinhas, podemos encontrar:

∂ T ∂ x m á x i m o = 300 0,01 [ - 1,5708 × 1,2733 × e - 1,5708 2 0,2145 × sin ⁡ 1,5708   1

Lembrando que: podemos adotar x * = 1 uma vez que temos F o > 0,2 .

Finalmente:

∂ T ∂ x m á x i m o = 968,86 ° C / m

Bem tranquilo!! Até a próxima!!

Resposta

Portanto:

  1. t = 35,75 s e g
  2. ∂ T ∂ x = 968,86 ° C / m

Exercícios de Livros Relacionados

Repita o Prob 4-126 para geometrias de ferro fundido ( k   =   50   W / m . ° C   e   α   =   1,57 x 10 - 5 m ² / s ² ).
Inicia-se a aplicação de um revestimento plástico em painéis de madeira pela deposição de polímero fundido sobre o painel e o posterior resfriamento da superfície do polímero ao su...
55. Durante a operação transiente, o ejetor de um motor de foguete, feito em aço, não deve exceder uma temperatura máxima de operação de 1500 K quando exposto a gases de combustão ...
Um longo bastão de pirocerâmica com 20 mm de diâmetro é revestido por um tubo metálico muito fino para proteção mecânica. A fixação entre o bastão e o tubo tem uma resistência térm...
A condutividade térmica de um sólido cuja densidade e calor específico são conhecidos pode ser determinada a partir da relação   k = α ρ c P após avaliação da difusividade térmica ...
Varas longas de madeira k = 0 , 15 9 W m K   e   α = 1,75 × 10 - 7 m 2 s 18 cm de diâmetro são expostas ao ar a 30°C com um coeficiente de transferência de calor de 8,83 W m 2 K . ...
Pequenas esferas de vidro deixam o forno e são resfriadas a uma temperatura ambiente de 30 °C. Uma dessas esferas tem diâmetro de 10 mm e temperatura inicial de 400 °C é resfriada ...
49. Têmpera é um processo no qual o aço é reaquecido e, então, resfriado para ficar menos quebradiço. Seja o estágio de reaquecimento para uma placa de aço com 100 mm de espessura ...
Duas esferas, A e B , inicialmente a 800   K , são subitamente submersas em grandes banhos, que são mantidos à mesma temperatura constante de 320   K . Os parâmetros a seguir estão...
Esferas de 40   m m de diâmetro, aquecidas até uma temperatura uniforme de 400 ° C , são subitamente retiradas de um forno e colocadas em um banho de ar com escoamento forçado, ope...
Em um processo de fabricação, longos bastões de diferentes diâmetros estão a uma temperatura uniforme de 400°C no interior de um forno de cura, do qual são retirados e resfriados p...
A massa específica e o calor específico de um determinado material são conhecidos ( ρ   =   1200   k g / m 3 ,   c p = 1250   J / ( k g   ·   K ) ) , mas a sua condutividade térmic...