Enunciado

O professor Gordon Holloway e seus alunos na Universidade de New Brunswick foram a uma lanchonete e tentaram tomar milkshakes de chocolate ( ρ = 1200   k g / m ³ , μ = 6   k g / ( m . s ) por meio de canudos roliços de 8 mm de diâmetro e 30 cm de comprimento. (a) Verifique que seus pulmões humanos, os quais podem desenvolver pressões vacuométricas em torno de 3000 Pa, não seriam capazes de aspirar o milkshake pelo caminho vertical. (b) Um aluno cortou 15 cm do seu canudo e passou a tomar o milkshake alegremente. Qual é a vazão de fluido produzida por essa estratégia?

Passo 1

E aí, gente!! Tudo bem? Nesse exercício quero te mostrar que mais importante do que sabermos fazer conta, é interpretamos resultados algébricos, onde eles muitas vezes já nos dão respostas claras do que precisamos tomar como decisão!!

Bem, vamos escrever a nossa equação de energia:

p 1 ρ g + V 1 2 2 g + z 1 = p 2 ρ g + V 2 2 2 g + z 2 + h f

Vamos considerar nosso canudo da seguinte maneira!

Ali embaixo o fluido pode ser considerado basicamente parado, então sua velocidade é zero, assim como também nosso ponto z 1 . E quanto a pressão? Bem, pro fluido subir, o vácuo formado dentro da boca da gente deve ter um valor em módulo muito maior do que a pressão no ponto 1 para que o fluido suba, certo? Então podemos escrever que p 1 ≪ | p 2 | .

p 2 ρ g + V 2 2 2 g + z 2 + h f = 0

Passo 2

(a) Note que o problema pede pra gente testar o que acontece quando nossos pulmões fazem uma pressão vacuométrica em torno de 3000 Pa!! Mas lembra-se, estamos falando de pressões negativas pois estamos falando de vácuo!!

p 2 ρ g + V 2 2 2 g + z 2 + h f = 0

- 3000 1200   x   9,81 + V t u b o 2 2 g + 0,3 + h f = 0

h f = 0,255 - 0,3 - V t u b o 2 2 g

Note que de cara já vemos que isso dará negativo, pois a continha 0,255 - 0,3 < 0 e como a velocidade é positiva, assim como a gravidade (escalar), vamos ter que

h f < 0

Isso é IMPOSSÍVEL!!!!

Passo 3

Mas né, pelamor de God!! Quem usa um canudo de 30 cm pra poder beber um milkshake!!!!!! Vamos cotar esse treco aí na metade e assumir que teremos um escoamento laminar, beleza?

h f = 0,255 - 0,15 - V 2 2 g

Para escoamentos laminares, podemos aproximar nossa perda de carga pela aproximação de Poiseuille para escoamentos laminares dentro de tubos cilíndricos!!

h f = 32 μ L V ρ g d 2 = 0,255 - 0,15 - V 2 2 g

0,105 - V 2 2 9,81 = 32 6 0,15 V 1200 9,81 0,008 2 = 38,23 V

Note que teremos uma equação quadrática tal que:

V 2 19,62 + 38,23 V - 0,105 = 0  

Vamos ter duas raízes para esse trem aí, e uma delas será negativa, ou seja, não liga pra ela e pega só a raiz positiva!!

V = 0,00275   m / s

Q = A V = π 4 d 2 V = π 4 0,008 2 0,00275 = 1,4   x   10 - 7 m 3 s = 0,14 c m 3 s

Passo 4

Acabouuuuuu!!!!??? NÃOOOOOOOOOOOOO!!!

Como assumimos escoamento laminar, a gente agora tem que comprovar que nossa hipótese foi válida!

R e = ρ V d μ = 1200 0,00275 0,008 6 = 0,0044   ( L a m i n a r )

Show, realmente nosso escoamento era laminar!!!

Resposta

  1. h f = 0,255 - 0,3 - V t u b o 2 2 g < 0
  2. Q = 0,14   c m 3 / s
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