Enunciado

O projeto de automóveis está tendendo para a tração nas quatro rodas de modo a melhorar o desempenho e a segurança do veículo. Um veículo de tração total deve ter um diferencial especial para permitir operação em qualquer estrada. Inúmeros veículos estão sendo construídos com um diferencial viscoso constituído de placas múltiplas contendo fluido viscoso entre elas. Faça a análise e o projeto necessários para definir o torque transmitido pelo diferencial para uma dada diferença de velocidade, em termos dos parâmetros de projeto. Identifique dimensões adequadas para o diferencial viscoso (discos paralelos rotativos) transmitir um torque de 150 N.m com uma perda de velocidade de 125 rpm, usando um lubrificante com propriedades do óleo SAE 30. Discuta como determinar o custo mínimo de material para o diferencial viscoso, se o custo de placa por metro quadrado for constante.

Passo 1

Beleza! A primeira coisa que devemos notar é que podemos modelar esse problema como sendo o de duas placas estacionárias, em que a superior se movimenta e a inferior está em repouso, dessa forma, sabemos que teremos um perfil de velocidade linear, de modo que:

d u d y = V h

No entanto, nesse caso a velocidade linear pode ser escrita em função da rotação dos discos, de modo que:

V = r Δ ω

Então, o perfil de velocidade se torna:

d u d y = r Δ ω h

Agora, vamos escrever a tensão de cisalhamento para o problema:

τ = μ d u d y

Substituindo a expressão encontrada para d u / d y , temos:

τ = μ r Δ ω h

Passo 2

Agora, nós vamos escrever o torque para o sistema, mas iremos fazer isso na forma diferencial, então, sabendo que o torque é dado pelo raio vezes a força, na forma diferencial, temos:

d T = r d F

No entanto, sabemos que a força pode ser escrita em função da tensão de cisalhamento e da área de contato, então, na forma diferencial, temos:

d F = τ d A = τ 2 π r d r

Então, substituindo essa expressão na equação de cima, temos:

d T = r τ 2 π r d r → d T = 2 π τ r 2 d r

Sendo assim, substituindo agora a expressão encontrada para a tensão de cisalhamento no passo 1, temos:

d T = 2 π r 2 d r μ r Δ ω h → d T = 2 π μ Δ ω r 3 d r h

Agora vamos integrar essa expressão desde o raio interno R i até o raio externo R e , então, temos:

T = π μ Δ ω r 4 2 h R i R e

Substituindo os limites de integração, temos:

T = π μ Δ ω 2 h R e 4 - R i 4

Esse valor de torque é aquele para cada vão, então, se tivermos um número n de vãos, o torque será:

T n = n π μ Δ ω 2 h R e 4 - R i 4

Passo 3

Agora precisamos ir no apêndice A para pegar o valor da viscosidade do óleo SAE 30, pegando o valor a uma temperatura de 30 °C, temos:

μ = 0,2   N . s / m 2

Agora, precisamos converter a diferença de velocidade, ou perda de velocidade, dada no enunciado, para radianos por segundo, então, teremos:

Δ ω = 125   r e v m i n 1   m i n 60   s 2 π   r a d 1   r e v → Δ ω = 13,09   r a d / s

Agora, como o enunciado não nos disse, vamos assumir que temos n = 100 , uma camada de óleo de espessura h = 0,2   m m e assumir que o raio externo é o dobro do raio interno, de modo que R e = 2 R i . Então, substituindo todos esses valores na equação obtida no passo 2, temos:

T n = n π μ Δ ω 2 h R e 4 - R i 4

150 = 100 π 0,2 13,09 2 0,2.10 - 3 2 R i 4 - R i 4

7,295.10 - 5 = 16 R i 4 - R i 4 → R i = 0,04696   m

E, desse modo, o raio externo será:

R e = 2 R i = 2 0,04696 → R e = 0,09392   m

Resposta

R e = 0,09392   m

R i = 0,04696   m

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