Enunciado

Repita o Problema 8 - 115 para uma entrada em aresta viva no tubo com K L = 0,5 . Essa "perda menor" é verdadeiramente "menor" ou não?

Passo 1

Bom, gente, aqui nós usar todos os dados da questão 115 , porém vamos nos atentar para o que o problema nos pede. Ele quer saber se a perda menor é menor de fato. Para calcularmos isso temos:

h L ,   t o t a l = h L , g r a n d e + h L , m e n o r

Substituindo cada expressão, temos:

h L ,   t o t a l = ∑ f L D V 2 2 g + K L V 2 2 g

Simplificando:

h L ,   t o t a l = f L D + K L V 2 2 g

Passo 2

Desprezando as perdas menores, podemos utilizar a equação de energia (que é a de Bernoulli, com alguns acréscimos). Assim, estabelecendo os pontos de análise 1 e 2 , temos:

Pelo diagrama, os pontos 1 e 2 são expostos a atmosfera, ou seja, P 1 = P 2 = P a t m . Além disso, o nosso ponto de referência é em z 2 = 0 e a velocidade no ponto 1 é desprezível, ou seja, V 1 ≅ 0 . Por ultimo, não temos bomba nem turbina, então h b o m b a = 0 e h t u r b i n a = 0 . Assim, temos:

P 1 ρ g + α 1 V 1 2 2 g + z 1 + h b o m b a = P 2 ρ g + α 2 V 2 2 2 g + z 2 + h t u r b i n a + h L

z 1 = α 2 V 2 2 2 g + h L

Como h L = f L D + K L V 2 2 g , então:

z 1 = α 2 V 2 2 2 g + f L D + K L V 2 2 g

Isolamos a velocidade de saída:

V 2 2 = 2 g z 1 1 + f L D + K L

V 2 = 2 g z 1 1 + f L D + K L

Calculando, temos:

V 2 = 2 × 9,81 × 3 1 + 0,022 × 25 0,03 + 0,5 = 1,723   m / s

Assim, podemos calcular a vazão de descarga:

v d ˙ = V 2 A 2           ∴         v d ˙ = 1,723 × π 0,03 2 4 = 1,22 × 10 - 3 m 3 s =   1,22   L / s  

Passo 3

Para acharmos o tempo que a piscina esvazia completamente, podemos expressar a quantidade de água saindo durante um instante de tempo através da derivação:

d v ˙ = v ˙ d t

Sendo que v d ˙ = π D 2 4 2 g z 1 1 + f L D + K L , logo

d v ˙ = π D 2 4 2 g z 1 1 + f L D + K L d t

A massa que sai é igual a que está dentro do tanque, pelo fato de esvaziar, ocorre uma diminuição de nível:

d v ˙ = - A d z = - π D 0 2 4 d z

Igualando as expressões e substituindo as variáveis, temos:

π D 2 4 2 g z 1 1 + f L D + K L d t = - π D 0 2 4 d z

Isolando d t :

d t = - D 0 2 D 2 1 + f L D + K L 2 g z - 1 2   d z

Passo 4

Vamos resolver nossa integral. Para isso, vale lembrar que o intervalo de tempo é t < t < 0 e a altura 0 < z < z 1 , logo:

∫ 0 t d t = - D 0 2 D 2 1 + f L D + K L 2 g ∫ z 1 0 z - 1 2   d z

t = 2 D 0 2 D 2 1 + f L D + K L 2 g z 1 1 2

t = D 0 2 D 2 2 z 1 ( 1 + f L D + K L ) g

Substituindo os dados, temos:

t = 10 2 0,03 2 2 × 2 ( 1 + 0,022 × 25 0,03 + 0,5 ) 9,81 = 315973,6 s = 87,7 h

Ou seja, essa diferença é de mais ou menos:

87,7 - 86,6 86,6 = 0,013

A perda é realmente menor!

Prontinho!!

Resposta

v d ˙ = 1,22   L / s e t = 87,7   h . A perda é realmente menor!

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