Enunciado

Reconsidere a Figura P4.17 da seguinte maneira geral: sabe-se que a espessura da camada-limite δ ( x ) cresce monotonicamente e que não há escorregamento na parede ( y = 0 ) . Depois, u ( x , y ) se aproxima suavemente da corrente externa, em que u ≈ U = c o n s t a n t e fora da camada. Use esses fatos para provar que (a) o componente v ( x , y ) é positivo em todos os pontos dentro da camada, (b) v aumenta parabolicamente com y muito próximo da parede e (c) v é máxima em y = δ .

Passo 1

Alô você! Bora lá pra mais uma!

Para (a), temos que δ ( x ) ta crescendo continuamente, certo?! Com isso, u vai, continuamente, decrescer com x na camada limite, assim teremos que:

∂ u ∂ x < 0

Ou seja,

∂ v ∂ y = - ∂ u ∂ x > 0

Quando, y = 0 , teremos v = 0 , assim, v x , y > 0 para todo y ≤ δ .

Passo 2

Bora pra (b). Cara, na parede, u vai ser aproximadamente linear com y, considerando o atrito próximo as paredes positivo ou nulo, τ ≥ 0 , teremos, perto da parede:

u ≈ y f x

∂ u ∂ x = y d f d x  

em que, d f d x < 0 . Assim,

∂ v ∂ y = - ∂ u ∂ x = d f d x y

Por separação de variáveis,

v ≈ d f d x ∫ 0 y y d y ≈ d f d x y 2 2    

Como d f d x < 0 , a concavidade é pra baixo.

Passo 3

Bora pra última, (c)!

Quando y = δ , teremos u → U , então, ∂ u / ∂ x ≈ 0 . Portanto, ∂ v / ∂ y ≈ 0 .

Vimos que v como uma parábola, tendo sua derivada igual a 0, teremos que:

v = v m a x

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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