Enunciado

Reconsidere o helicóptero do Problema 6-34, exceto que ele flutua no alto de uma montanha de 3000   m de altitude na qual a densidade do ar é 0,79   k g / m 3 . Observando que as pás do helicóptero descarregado devem girar a 400   r p m para flutuar no nível do mar, determine a velocidade rotacional da pá para flutuar a uma altitude maior. Determine também o aumento percentual da entrada de potência necessária para flutuar a uma altitude de 3000   m em relação àquela necessária para flutuar no nível do mar.

Passo 1

O enunciado quer saber primeiro a rotação n ˙ m o n t a n h a em r p m das pás do helicóptero quando ele está a uma altitude de 3000   m . A figura abaixo mostra o volume de controle usado no Problema 6-34.

D é a envergadura das pás do helicóptero. n ˙ m a r é a velocidade de rotação das pás do helicóptero em r p m ao nível do mar. m é a massa presente no volume de controle. Quando o helicópterio está sem carga, m é apenas a massa do helicóptero. ρ m a r é a densidade do ar ao nível do mar. O enunciado do Problema 6-34 informa que ρ m a r vale:

ρ m a r = 1,18   k g / m 3

ρ m o n t a n h a é a densidade do ar ao nível da montanha.

Agora que lembramos um pouco da questão anterior, vamos aprender a calcular n ˙ m o n t a n h a .

Passo 2

Podemos descobrir o valor de n ˙ m o n t a n h a , lembrando que no enunciando do Problema 6-34 foi informado que a velocidade média V 2 do ar saindo do volume de controle é proporcional à velocidade rotacional da lâmina (rpm). Ou seja, V 2 é igual à multiplicação entre uma constante C e n ˙ .

V 2 = C ⋅ n ˙

A equação acima mostra que para encontrar n ˙ , temos que achar C . Achamos C substituindo os valores de V 2 e n ˙ para o caso no qual o helicóptero está ao nível do mar. Ressaltamos isso com um índice m a r na velocidade V 2 e na velocidade de rotação n ˙ .

V 2 m a r = C ⋅ n ˙ m a r       ⟹     C = V 2 m a r n ˙ m a r

A fórmula da velocidade no nível do mar V 2 m a r é a fórmula encontrada na Problema 6-34.

V 2 m a r = 4 ⋅ m ⋅ g π ⋅ ρ m a r ⋅ D 2

Substituindo isso na fórmula, ela vira:

C = 4 ⋅ m ⋅ g π ⋅ ρ m a r ⋅ D 2 n ˙ m a r

A velocidade do ar V 2 m o n t a n h a saindo do volume de controle a 3000   m pode ser calculada com as mesmas fórmulas. A partir dessas fórmulas, somos capazes de criar uma fórmula para n ˙ m o n t a n h a .

V 2 m o n t a n h a = C ⋅ n ˙ m o n t a n h a       ⟹   n ˙ m o n t a n h a = V 2 m o n t a n h a C       ⟹       n ˙ m o n t a n h a = V 2 m o n t a n h a 4 ⋅ m ⋅ g π ⋅ ρ m a r ⋅ D 2 n ˙ m a r

V 2 m o n t a n h a = 4 ⋅ m ⋅ g π ⋅ ρ m o n t a n h a ⋅ D 2

Substituindo uma fórmula na outra e cortando os termos iguais, achamos:

n ˙ m o n t a n h a = V 2 m o n t a n h a 4 ⋅ m ⋅ g π ⋅ ρ m a r ⋅ D 2 n ˙ m a r       ⟹       n ˙ m o n t a n h a = 4 ⋅ m ⋅ g π ⋅ ρ m o n t a n h a ⋅ D 2 4 ⋅ m ⋅ g π ⋅ ρ m a r ⋅ D 2 n ˙ m a r

n ˙ m o n t a n h a = n ˙ m a r ⋅ ρ m a r ρ m o n t a n h a

Passo 3

O enunciado também pede que a gente calcule o aumento percentual da potência Δ W ˙ % , quando o helicóptero passa do nível do mar para 3000   m de altura. A fórmula do aumento percentual Δ W ˙ % é:

Δ W ˙ % = W ˙ m o n t a n h a - W ˙ m a r W ˙ m a r

onde W ˙ m a r é a potência necessária para fazer o helicóptero ficar parado no ar ao nível do mar e W ˙ m o n t a n h a é a potência necessária para fazer o helicóptero ficar parado no ar a 3000   m de altura. W ˙ m a r e W ˙ m o n t a n h a podem ser calculadas a partir da mesma fórmula deduzida no Problema 6-34. A única diferença entre os dois será na densidade ρ do ar.

W ˙ m a r = π ⋅ ρ m a r ⋅ D 2 ⋅ m ⋅ g ⋅ m ⋅ g π ⋅ ρ m a r ⋅ D 2

W ˙ m o n t a n h a = π ⋅ ρ m o n t a n h a ⋅ D 2 ⋅ m ⋅ g ⋅ m ⋅ g π ⋅ ρ m o n t a n h a ⋅ D 2

Substituindo isso na fórmula de Δ W ˙ % , encontramos:

Δ W ˙ % = π ⋅ ρ m o n t a n h a ⋅ D 2 ⋅ m ⋅ g ⋅ m ⋅ g π ⋅ ρ m o n t a n h a ⋅ D 2 - π ⋅ ρ m a r ⋅ D 2 ⋅ m ⋅ g ⋅ m ⋅ g π ⋅ ρ m a r ⋅ D 2 π ⋅ ρ m a r ⋅ D 2 ⋅ m ⋅ g ⋅ m ⋅ g π ⋅ ρ m a r ⋅ D 2

Δ W ˙ % = 1 ρ m o n t a n h a - 1 ρ m a r 1 ρ m a r

Passo 4

Substituindo os dados na equação de n ˙ m o n t a n h a , encontramos seu valor.

n ˙ m o n t a n h a = n ˙ m a r ⋅ ρ m a r ρ m o n t a n h a       ⟹     n ˙ m o n t a n h a = 400 ⋅ 1,18 0,79

n ˙ m o n t a n h a = 489   r p m

Substituindo os dados na equação de Δ W ˙ % , também encontramos seu valor.

Δ W ˙ % = 1 ρ m o n t a n h a - 1 ρ m a r 1 ρ m a r       ⟹       Δ W ˙ % = 1 0,79 - 1 1,18 1 1,18

Δ W ˙ % = 0 , 2222       ⟹       Δ W ˙ % = 22,22   %

Resposta

n ˙ m o n t a n h a = 489   r p m

Δ W ˙ % = 22,22   %

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