Enunciado

As grandes turbinas eólicas disponíveis comercialmente incluem diâmetros de até 100   m e geram mais de 3   M W de energia elétrica em condições ótimas de projeto. Considere uma turbina eólica com envergadura de lâmina de 90   m sujeita a ventos constantes de 25   k m / h . Se a eficiência combinada de turbina e gerador da turbina eólica for de 32 % , determine (a) a potência gerada pela turbina e (b) a força horizontal exercida pelo vento sobre o mastro de suporte da turbina. Tome a densidade do ar como 1,25   k g / m 3 e despreze os efeitos do atrito.

Passo 1

O enunciado quer primeiro que a gente calcule a potência gerada W ˙ r e a l pela combinação entre turbina eólica. Depois, a questão pede para a gente calcular a força horizontal F x que o vento exerce sobre o mastro da turbina.

O primeiro passo para esses dois cálculos é escolher o volume de controle que vamos usar para estudar a turbina. Como queremos informações sobre a turbina, vamos imaginar que o volume de controle é a região do espaço que engloba a turbina e seu mastro. A figura abaixo mostra essa situação.

V 1 é a velocidade do ar entrando no volume de controle e V 2 é a velocidade do ar saindo do volume de controle. P 1 e P 2 são as pressões manométricas do ar entrando e do ar saindo do volume de controle respectivamente. Essas duas pressões manométricas valem zero por que o ar que entra e sai do volume de controle tem a mesma pressão que a atmosfera.

P 1 = P 2 = 0   P a

ρ é a densidade do ar. Como o enunciado só dá um valor pra densidade do ar, podemos considerar o escoamento incompressível ( ρ = c o n s t a n t e ). D é a envergadura das lâminas da turbina F x é a força horizontal que o vento faz no mastro. η é a eficiência combinada da turbina com o gerador.

No próximo passo vamos aprender a calcular W ˙ r e a l atrave´s de uma fórmula.

Passo 2

A eficiência η da turbian e do gerador é calculada dividindo a potência real que eles geram W ˙ r e a l pela potência máxima W ˙ m á x que esses dois equipamentos podem produzir juntos. Sabendo disso, podemos criar uma fórmula para W ˙ r e a l .

η = W ˙ r e a l W ˙ m á x       ⟹     W ˙ r e a l =   η ⋅ W ˙ m á x

A máxima potência W ˙ m á x é gerada, quando a turbina e o gerador conseguem transformar toda energia mecânica do vento em energia elétrica. Ou seja, a máxima potência é alcançada, quando esses equipamentos extraem toda a energia mecânica do ar em movimento. A energia mecânica do vento que entra no volume de controle a cada segundo E ˙ m e c , 1 é a igual à sua energia cinética.

E ˙ m e c , 1 = m ˙ ⋅ V 1 2 2

onde m ˙ é a vazão mássica de ar que passa pela turbina. Ela é igual a:

m ˙ = ρ ⋅ V 1 ⋅ A 1 ⏟ π ⋅ D 1 2 4       ⟹       m ˙ = ρ ⋅ V 1 ⋅ π ⋅ D 2 4

A 1 é a área por onde o vento passa e colide com a turbina. Como as lâminas da turbina t~em apenas um movimento circular, a área A 1 que através da qual o vento passa e colide com a turbina é a área de um círculo. A imagem abaixo explica isso.

Substituindo a fórmula da vazão na fórmula da energia mecânica do vento, encontramos?

E ˙ m e c , 1 = m ˙ ⋅ V 1 2 2       ⟹       E ˙ m e c , 1 = ρ ⋅ π ⋅ D 2 ⋅ V 1 3 8

Como W ˙ m á x é igual a E ˙ m e c , 1 , temos que:

W ˙ m á x = E ˙ m e c , 1       ⟹     W ˙ m á x = ρ ⋅ π ⋅ D 2 ⋅ V 1 3 8

Substituindo essa fórmula na equação da potência real gerada W ˙ r e a l , achamos:

W ˙ r e a l =   η ⋅ W ˙ m á x       ⟹       W ˙ r e a l = η ⋅ ρ ⋅ π ⋅ D 2 ⋅ V 1 3 8

Passo 3

Substituindo esses dados na fórmula que criamos, achamos o valor de W ˙ r e a l . Antes disso, temos que lembrar de converter a velocidade V 1 de k m / h para m / s , dividindo ela por 3,6 .

V 1 = 25   k m h     ⟹       V 1 = 6,94   m / s

W ˙ r e a l = η ⋅ ρ ⋅ π ⋅ D 2 ⋅ V 1 3 8       ⟹       W ˙ r e a l = 0,32 ⋅ 1,25 ⋅ π ⋅ 90 2 ⋅ 6,94 3 8

W ˙ r e a l = 425288   W

Passo 4

Para encontrar a força F x precisamos aplicar a segunda lei de Newton (equação da quantidade de movimento) ao volume de controle. Podemos considerar que o escoamento de ar ocorre em regime permanente, porque as turbina geralmente operam dessa forma. Como estamos interessados apenas na força do eixo x , vamos usar a equação 6 - 27 do livro (segunda lei de Newton no eixo x para volumes de controle em regime permanente).

∑ F x = m ˙ ⋅ β 2 ⋅ V 2 , x - β 1 ⋅ V 1 , x

onde ∑ F x é o somatório das forças horizontais (no eixo x ) sobre o volume de controle, β 1 é o fator de correção para o escoamento que entra no volume de controle. β 2 é o fator de correção para o escoamento que sai do volume de controle. Esses dois fatores de conversão valem 1 , porque esse é o valor do fator de correção para escoamentos livres na atmosfera.

β 1 = β 2 = 1

V 1 , x é a velocidade do ar no eixo x entrando no cotovelo. V 2 , x é a velocidade do ar no eixo x saindo do cotovelo. Ela é igual à velocidade V 2 , porque V 2 é uma velocidade horizontal.

V 2 , x = V 2

V 2 pode ser calculada através da conservação de energia do volume de controle. Como nenhuma energia é perdida por atrito (o enunciado afirma isso), a energia cinética do ar que entra no volume de controle se transforma apenas em potência W ˙ r e a l e em energia cinética do ar que sai do volume de controle. Logo:

m ˙ ⋅ V 1 2 2 = m ˙ ⋅ V 2 2 2 + W ˙ r e a l     ⟹     ρ ⋅ V 1 ⋅ π ⋅ D 2 4 ⋅ V 1 2 2 = ρ ⋅ V 1 ⋅ π ⋅ D 2 4 ⋅ V 2 2 2 + W ˙ r e a l

V 2 = ρ ⋅ π ⋅ D 2 ⋅ V 1 3 8 - W ˙ r e a l ρ ⋅ V 1 ⋅ π ⋅ D 2 8

Além disso, a velocidade V 1 é horizontal. Logo, sua componente horizontal é igual à V 1 V 1 , x = V 1 .

Substituindo essas informações na fórmula de ∑ F x , encontramos:

∑ F x = m ˙ ⋅ β 2 ⋅ V 2 , x - β 1 ⋅ V 1 , x

∑ F x = ρ ⋅ V 1 ⋅   π ⋅ D 2 4 ⋅ 1 ⋅ ρ ⋅ π ⋅ D 2 ⋅ V 1 3 8 - W ˙ r e a l ρ ⋅ V 1 ⋅ π ⋅ D 2 8 - 1 ⋅ V 1

∑ F x = ρ ⋅ V 1 ⋅   π ⋅ D 2 4 ⋅ ρ ⋅ π ⋅ D 2 ⋅ V 1 3 8 - W ˙ r e a l ρ ⋅ V 1 ⋅ π ⋅ D 2 8 - V 1

A única força do eixo x é a força F x . A força que a pressão atmosférica exerce sobre o volume de controle não é contabilizada, porque é atua sobre todo o volume de controle e seu efeito acaba sendo cancelado.

∑ F x = F x

Substituindo isso na equação anterior de ∑ F x , encontramos:

∑ F x = ρ ⋅ V 1 ⋅   π ⋅ D 2 4 ⋅ ρ ⋅ π ⋅ D 2 ⋅ V 1 3 8 - W ˙ r e a l ρ ⋅ V 1 ⋅ π ⋅ D 2 8 - V 1

F x = ρ ⋅ V 1 ⋅   π ⋅ D 2 4 ⋅ ρ ⋅ π ⋅ D 2 ⋅ V 1 3 8 - W ˙ r e a l ρ ⋅ V 1 ⋅ π ⋅ D 2 8 - V 1

Passo 5

Finalmente podemos substituir os dados na fórmula de F x para encontrar seu valor.

F x = ρ ⋅ V 1 ⋅   π ⋅ D 2 4 ⋅ ρ ⋅ π ⋅ D 2 ⋅ V 1 3 8 - W ˙ r e a l ρ ⋅ V 1 ⋅ π ⋅ D 2 8 - V 1

F x = 1,25 ⋅ 6,94 ⋅   π ⋅ 90 2 4 ⋅ 1,25 ⋅ π ⋅ 90 2 ⋅ 6,94 3 8 - 425288 1,25 ⋅ 6,94 ⋅ π ⋅ 90 2 8 - 6,94

F x = - 67171   N

Resposta

a   W ˙ r e a l = 425288   W

b   F x = - 67171   N

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