Enunciado

Reconsidere o Prob. 9-37. A fim de reduzir o custo de aquecimento de um tubo, propõe-se isolá-lo com fibra de vidro suficientemente espessa ( k = 0,035   W / m ⋅ K ) envolvida com folha de alumínio ε = 0,1 para reduzir as perdas de calor em 85%. Considerando que a temperatura do tubo permanece constante em 25 °C, determine a espessura do isolamento que precisa ser usado. Quanto dinheiro o isolamento irá economizar durante o período de 15 horas?

Passo 1

Como o enunciado pede, vamos utilizar todos os dados já calculados na questão anterior, a 9-37. Então... podem dar aquela boa olhada na questão anterior!

Vamos começar então por calcular qual a taxa de calor após a instalação e o quanto é economizado. Esta primeira parte é a mais simples.

Portanto, como reduzimos as perdas de calor em 85%, a taxa de perda de calor final é:

Q ˙ f i n a l = 1 - 0,85 ⋅ Q ˙

Q ˙ f i n a l = 0,15 ⋅ 29,1 = 4365   W

E agora, resolvendo a primeira pergunta da questão, o custo economizado se dá por causa daqueles 85% que deixam de ser consumido. Portanto,

C u s t o = V a l o r ⋅ Q ˙ - Q ˙ f i n a l ⋅ Δ t

C u s t o = 0,09 ⋅ 29100 - 4365 ⋅ 15 = U S $   33,39

E assim chegamos ao valor economizado

Passo 2

Agora, iremos partir para a parte do dimensionamento da espessura. E a ideia aqui agora é começarmos a montar um sistema com uma série de equações e resolvê-los simultaneamente.

Pode ser confuso, então vamos com muita calma! Iremos analisar o Passo a Passo da questão 9-37 do final para o início, assim nos facilita.

Nós já sabemos então qual a taxa de calor perdida, a qual pode ser expressa por:

Q ˙ f i n a l = Q ˙ c o n v + Q ˙ r a d

Q ˙ f i n a l = h A s T s - T ∞ + ε σ A s T s 4 - T c i r 4

Q ˙ f i n a l = h ⋅ A s ⋅ 25 - 0 + 0,8 ⋅ 5,67 ⋅ 10 - 8 ⋅ A s ⋅ T s 4 - 243 4

Eita, chegamos a uma equação com 3 incógnitas: o coeficiente de transferência de calor h , que não calcularemos pelo número de Nusselt, a área superficial, que é dada por:

A s = π D e x t e r n o L = π 0,3 + 2 t e s p 100

Lembrando que o t e s p é a camada de isolamento que queremos determinar, e a própria temperatura externa desta camada, que não sabemos ainda.

Bom, chegamos a nossa primeira equação. Temos mais duas ainda para identificarmos.

Passo 3

Agora, vamos para o cálculo do h . Para calcularmos o coeficiente h , precisamos correlacionar com o número de Nusselt. E para isto, precisamos calcular o número de Rayleigh.

Portanto, temos:

R a L = g β T s - T ∞ L c 3 ν 2 P r = g T s - T ∞ L c 3 T f ⋅ ν 2 P r

R a L = 9,81 ⋅ T s - 0 ⋅ 0,3 + 2 t e s p 3 12,5 + 273 ⋅ 1,448 ⋅ 10 - 5 2 ⋅ 0,7330

Agora, o número de Nusselt é dado por:

N u = h L c k = 0,6 + 0,387 ⋅ R a 1 / 6 1 + 0,559 P r 9 / 16 8 / 27 2

Portanto, o coeficiente h é:

h = k L c ⋅ 0,6 + 0,387 ⋅ R a 1 / 6 1 + 0,559 P r 9 / 16 8 / 27 2

h = 0,02458 0,3 ⋅ 0,6 + 0,387 ⋅ R a 1 / 6 1 + 0,559 0,733 9 / 16 8 / 27 2

Então, poderíamos pegar, esta equação beeeem grande e colocarmos lá naquela da taxa de calor. Na verdade, devemos fazer isto sim.

Masssss.... só por motivos práticos, não vamos copiar a equação aqui.

Passo 4

Faltamos mais uma equação para finalizarmos a questão.

Vamos voltar lá para o capítulo 3. Lá aprendemos a calcular a taxa de transferência de calor para cilindros em regime permanente. E este valor é exatamente Q ˙ f i n a l .

Portanto, a última equação é:

Q ˙ f i n a l = 2 π k L T - T s ln ⁡ ( D e x t e r n o / D )

4635 = 2 π ⋅ 0,02458 ⋅ 100 ⋅ 25 - T s ln ⁡ ( 0,3 + 2 t e s p / 0,3 )

Passo 5

Agora a bronca é resolvermos um sistema com duas equações. Relembrando, este sistema é:

4635 = 2 π ⋅ 0,02458 ⋅ 100 ⋅ 25 - T s ln ⁡ ( 0,3 + 2 t e s p / 0,3 )

4635 = h ⋅ π 0,3 + 2 t e s p 100 ⋅ 25 - 0 + 0,8 ⋅ 5,67 ⋅ 10 - 8 ⋅ π 0,3 + 2 t e s p 100 ⋅ T s 4 - 243 4

Só lembrando que o h é expresso por:

h = 0,02458 0,3 ⋅ 0,6 + 0,387 ⋅ R a 1 / 6 1 + 0,559 P r 9 / 16 8 / 27 2

E o número de Rayleigh por:

R a L = 9,81 ⋅ T s - 0 ⋅ 0,3 + 2 t e s p 3 12,5 + 273 ⋅ 1,448 ⋅ 10 - 5 2 ⋅ 0,7330

Pois é, muita equação, e todas grandes! Portanto, resolvendo o sistema simultaneamente, vamos obter o valor aproximado de:

t e s p ≈ 1,3   c m

Resposta

O custo economizado é de US$ 33,39. A espessura da camada é aproximadamente igual a 1,3 cm.

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