Enunciado

Um tanque cilíndrico de propano de 1,5 m de diâmetro e 4 m de comprimento é inicialmente cheio com propano líquido, cuja densidade é 581   k g / m 3 . O reservatório é exposto ao ar ambiente a 25 °C, em condições meteorológicas calmas. A superfície externa do tanque é polida de modo que a transferência de calor por radiação é desprezível. Agora, uma rachadura se desenvolve na parte superior do tanque, e a pressão no interior cai para 1 atm enquanto a temperatura cai para -42 °C, que é a temperatura de ebulição do propano a 1 atm. O calor de vaporização do propano a 1 atm é 425 kJ/kg. O propano é lentamente vaporizado como resultado da transferência de calor do ar ambiente para o reservatório, e seu vapor escapa do tanque a -42 °C através da rachadura. Considerando que o tanque de propano está mais ou menos na temperatura que o propano no seu interior, em qualquer momento, determine o tempo necessário para o tanque se esvaziar se não estiver isolado.

Passo 1

Vamos lá! É sempre importante começarmos pela colocação das nossas hipóteses do problema! Nesta questão temos uma operação de convecção natural, em regime permanente, não consideraremos os efeitos da radiação, o ar é considerado um gás ideal e as suas propriedades são constantes!

A ideia por trás da questão é a seguinte: o ambiente, que está a uma temperatura maior que o tanque, cede calor para o tanque. E este calor que o tanque absorve é responsável pela mudança de fase do propano.

Portanto, se queremos determinar o tempo para o tanque esvazia, o que necessita da taxa em que o propano muda de fase, precisamos começar calculando a taxa de transferência de calor que o tanque absorve!

Portanto, devemos começar por calcular a taxa de transferência de calor.

Como queremos determinar a transferência de calor, que ocorre por convecção, temos a seguinte relação:

Q ˙ = h A T s - T ∞

Em relação a área, vamos considerar que toda a superfície do tanque (parte lateral + as duas tampas) trocam calor da mesma forma. Portanto, a área de superfície é:

A = π D L + 2 π D 2 4 = π D L + D 2

A = π ⋅ 1,5 ⋅ 4 + 1,5 2 = 22,4   m 2

Logo, nos falta determinar o coeficiente h para obtermos esta taxa de transferência de calor.

Passo 2

Agora, precisamos definir o coeficiente h . Para isto, precisamos correlacionar com o número de Nusselt. E para isto, precisamos calcular o número de Rayleigh.

Portanto, temos:

R a L = g β T s - T ∞ L c 3 ν 2 P r = g T s - T ∞ L c 3 T f ⋅ ν 2 P r

Em relação a obtenção da viscosidade e o número de Prandt, iremos obter através da tabela A-15 ao utilizarmos a temperatura do filme. Esta temperatura é dada por T f = - 42 + 25 2 = - 8,5   ° C através da tabela A-15, temos:

R a L = 9,81 ⋅ 25 - - 42 ⋅ 1,5 3 - 8,5 + 273 ⋅ 1,265 ⋅ 10 - 5 2 ⋅ 0,7 383 = 3 , 869 ⋅ 10 10

Percebam que a temperatura T f utilizada no β tem que estar em Kelvin!

Lá na tabela 9-1, na parte de cilindro horizontal (que corresponde a geometria do nosso problema), na faixa do número de Rayleigh de ≤ 10 12 , temos a seguinte correlação para o número de Nusselt:

N u = h L c k = 0,6 + 0,387 ⋅ R a 1 / 6 1 + 0,559 P r 9 / 16 8 / 27 2

Portanto, o coeficiente h é:

h = k L c ⋅ 0,6 + 0,387 ⋅ R a 1 / 6 1 + 0,559 P r 9 / 16 8 / 27 2

h = 0,02 299 1,5 ⋅ 0,6 + 0,387 ⋅ 3,869 ⋅ 10 10 1 / 6 1 + 0,559 0,7 383 9 / 16 8 / 27 2

h = 5,73   W / m 2 ⋅ K

Novamente, percebam que a condutividade térmica do ar foi obtida da tabela A-15.

Calculando então a taxa de transferência, temos:

Q ˙ = h A T s - T ∞ = 5,73 ⋅ 22,4 ⋅ 25 - - 42 = 8599,6   W

Passo 3

Vamos determinar agora a vazão mássica de mudança de fase do propano. Logo,

m ˙ = Q ˙ h f g = 8599,6 425 ⋅ 10 3 = 0,02023   k g / s

Estamos quase finalizando a questão! A quantidade de propano no tanque é de:

m = ρ V = ρ π D 2 4 L = 581 ⋅ π ⋅ 1,5 2 4 ⋅ 4 = 4106,8   k g

Finalizando, o tempo necessário para esvaziar o tanque é:

Δ t = m m ˙ = 4106,8 0,02023 = 203005   s = 56,39   h

Resposta

São necessários 56,39 horas.

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