Enunciado

Um refrigerador internamente reversível tem um coeficiente de performance modificado em função dos processos reais de transferência de calor determinado por

C O P m = q e n t W ˙ = q e n t q s a i - q e n t = T f , i T q , i - T f , i

em que q e n t   é a taxa de resfriamento do refrigerador, q s a i   é a taxa de rejeição de calor e é a alimentação de potência. Mostre que C O P m   pode ser representado em termos das temperaturas dos reservatórios T f   e T q , das resistências térmicas nos lados quente e frio, e   q e n t , por

C O P m = T f - q e n t × R T o t T q - T f + q e n t × R T o t

sendo   R t o t   =   R t , f     +   R t , q . Mostre também que a alimentação de potência pode ser representada por

W = q e n t × T q - T f + q e n t × R T o t T f - q e n t × R T o t

Passo 1

Bora para mais uma questão juntos 😊. Aqui, nós temos um refrigerador passando por um processo de troca térmica. Ilustrativamente, temos:

E nós queremos provar as equações do coeficiente de performance e do trabalho desse refrigerador. Então vamos lá!

Passo 2

Vamos provar primeiro a equação do coeficiente de performance, beleza? Pela imagem acima, olhando as paredes do refrigerador e usando as resistências térmicas das paredes do lado quente e frio, temos:

T f , i - T f = q e n t × R i , f

T q , i - T q = q s a i × R i , q

Reescrevendo as equações, para as temperaturas internas ficamos com:

T f , i = T f - q e n t × R i , f

T q , i = T q - q s a i × R i , q

Em que as resistências do lado quente e frio são dadas pela relação com a resistência total das duas paredes:

R T o t = R t , q + R t , f

E a taxa de calor que sai pode ser expresso por:

q s a i = q e n t + W

Podemos substituir essa informação na equação da temperatura interna do lado e quente e ficamos com:

T q , i = T q - q e n t - W × R i , q

Como,

C O P m = q e n t W ˙

Então,

W ˙ = q e n t C O P m

Por consequência:

T q , i = T q - q e n t - × q e n t C O P m R i , q

Passo 3

Agora que já manipulamos todas as expressões que precisávamos, podemos substituir:

T f , i = T f - q e n t × R i , f e T q , i = T q - q e n t - × q e n t C O P m R i , q

Em,

C O P m = T f , i T q , i - T f , i

Ficando com:

C O P m = T f - q e n t × R i , f T q - q e n t - × q e n t C O P m R i , q - T f + q e n t × R i , f

Show! Agora é só resolver essa equação algebricamente e vamos chegar ao resultado desejado para o coeficiente de performance do refrigerador.

C O P m = T f - q e n t × R T o t T q - T f + q e n t × R T o t

Passo 4

Como o trabalho que deve ser consumido pelo refrigerador é dado pela equação do calor consumido na parte fria e o coeficiente de performance.

W = q e n t C O P m

Podemos substitui a equação do coeficiente de performance do refrigerador e ficar com:

W = q e n t T f - q e n t × R T o t T q - T f + q e n t × R T o t

W = q e n t × T q - T f + q e n t × R T o t T f - q e n t × R T o t

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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