Enunciado

Em uma região irrotacional de escoamento, podemos escrever o vetor de velocidade como o gradiente da função potencial de velocidade escalar V → =   ∇ → ϕ . As componentes da velocidade em coordenadas cilíndricas, ( r ,   θ ,   z ) e ( u z ,   u θ ,   u r ) , são:

u r = ∂ ϕ ∂ r

r θ = 1 r ∂ ϕ ∂ θ  

u z = ∂ ϕ ∂ z

Do capítulo 9, podemos também escrever as componentes do vetor de vorticidade em coordenadas cilíndricas como ζr = 1 r ∂ u z ∂ θ - ∂ u θ ∂ z , ζθ = ∂ u r ∂ z - ∂ u z ∂ r ,   e ζz = 1 r ∂ ∂ r r u θ - 1 r ∂ u r ∂ θ .

Substitua as componentes da velocidade no lugar das componentes da vorticidade para mostrar que as três componentes do vetor vorticidade são realmente zero em uma região irrotacional do escoamento.

Passo 1

Vamos fazer o que o enunciado pediu, bora substituirrrr!!

Componente r:

ζ r = 1 r ∂ u z ∂ θ - ∂ u θ ∂ z = 1 r ∂ 2 ϕ ∂ θ ∂ z - 1 r ∂ 2 ϕ ∂ z ∂ θ = 0

Componente θ:

ζ θ = ∂ u r ∂ z - ∂ u z ∂ r = ∂ 2 ϕ ∂ z ∂ r - ∂ 2 ϕ ∂ r ∂ z = 0

Componente z:

ζ z = 1 r ∂ ∂ r   r u θ - 1 r ∂ u r ∂ θ = 1 r ∂ 2 ϕ ∂ r ∂ θ - 1 r ∂ 2 ϕ ∂ θ ∂ r = 0

Portantom para as 3 componentes da vorticidade temos o valor de zero!!!

Resposta

Componente r:

ζ r = 1 r ∂ u z ∂ θ - ∂ u θ ∂ z = 1 r ∂ 2 ϕ ∂ θ ∂ z - 1 r ∂ 2 ϕ ∂ z ∂ θ = 0

Componente θ:

ζ θ = ∂ u r ∂ z - ∂ u z ∂ r = ∂ 2 ϕ ∂ z ∂ r - ∂ 2 ϕ ∂ r ∂ z = 0

Componente z:

ζ z = 1 r ∂ ∂ r   r u θ - 1 r ∂ u r ∂ θ = 1 r ∂ 2 ϕ ∂ r ∂ θ - 1 r ∂ 2 ϕ ∂ θ ∂ r = 0

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