Enunciado

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Repita o Prob. 4-95 para o caso de o bloco de alumínio ser inserido no forno sobre material de baixa condutividade, de modo que a transferência de calor a partir ou para a superfície inferior do bloco seja desprezível.

Passo 1

Vamos analisar o enunciado juntos e entender o que o problema quer de você.

Em primeiro lugar, o problema trata de um cilindro curto. Sabe o que isso significa? A transferência de calor ocorre tanto na direção x quanto na direção r para desse cilindro, pois suas dimensões são muito próximas.

No entanto, como todo o cilindro está imerso no mesmo fluido (ar) e submetido ao mesmo coeficiente de transferência de calor, além de não haver geração, podemos aproximar a resolução desse cilindro multidimensional como o produto das soluções analíticas de um cilindro infinito e de uma parede plana, dessa forma:

ϴ c i l i n d r o c u r t o = ϴ c i l i n d r o i n f i n i t o ∙   ϴ p a r e d e p l a n a  

Ou seja:

T r , x , t - T ∞ T i - T ∞ c i l i n d r o c u r t o = T r , t - T ∞ T i - T ∞ c i l i n d r o i n f i n i t o ∙ T x , t - T ∞ T i - T ∞ p a r e d e p l a n a

Até aqui esse problema é igualzinho ao 4-95, mas temos uma diferença. Preste atenção nessa imagem:

As linhas vermelhas representam o sentido da transferência de calor. Veja que, nos lados do bloco que formam a base, expostos de ambos os lados à convecção, existem um plano de simetria apontando para o centro da base, onde os vetores do fluxo de calor se anulam. Portanto, podemos considerar sua dimensão característica R como sendo o raio do cilindro, ou seja, metade do diâmetro.

Mas preste atenção na dimensão correspondente à altura desse bloco. Como a base está sobre uma mesa onde não há transferência de calor, temos apenas um vetor vindo do ambiente externo. Ou seja, a dimensão característica L deve ser correspondente a toda a altura do bloco, ou nossa análise estaria errada.

Agora, pra gente não se perder, vamos guardar as propriedades que vamos usar nos próximos passos:

T i = 20   ° C   e   T ∞ = 1200   ° C ρ   =   2702   k g / m ³ c P = 0,896 k J k g . K k   =   236   W / m . K α   = 9,75 x 10 - 5   m ² / s h =   80   W / m ² . K

Passo 2

Para resolver o problema, vamos supor que todos os valores de Números de Fourier (τ) são maiores que 0,2, para aproximar as soluções individuais dos perfis de temperatura para:

ϴ c i l i n d r o i n f i n i t o ( r , t ) =   A 1 e - λ 1 ² τ ⁡ J 0 ( λ 1 r / R )

ϴ p a r e d e p l a n a ( x ,   t ) =   A 1 e - λ 1 ² τ c o s ⁡ ( λ 1 x / L )

Vamos lembrar que a dimensão característica para um cilindro infinito é o seu raio (R) e para uma parede plana é a altura do cilindro. Assim:

L = 30   c m   = 0,3   m R = ( 15   c m ) / 2   = 7,5   c m   = 0,075   m

Vamos deixar os valores do Número de Fourier em função do tempo:

τ c i l i n d r o i n f i n i t o =   α t R ² =   ( 9,75 x 10 - 5   m ² / s ) t ( 0,075     m ) ² = 0,0173 t

τ p a r e d e p l a n a =   α t L ² =   ( 9,75 x 10 - 5   m ² / s ) t ( 0,3   m ) ² = 0,0011 t

Agora, vamos calcular o número de Biot para as duas geometrias:

B i c i l i n d r o i n i f i t o =   h R k =   ( 80   W / m ² . K ) ( 0,075   m ) 236   W / m . K = 0,025

B i p a r e d e p l a n a =   h L k =   ( 80   W / m ² . K ) ( 0,3   m ) 236   W / m . K = 0,102  

Iremos agora até a Tabela 4-2 (página 239), onde vamos usar os valores de B i para ambas as geometrias para encontrar A 1 e λ 1   para as duas.

Para o cilindro infinito, iremos fazer uma interpolação entre os valores de B i c i l i n d r o i n i f i t o = 0,02 e

B i c i l i n d r o i n i f i t o = 0,04 :

B i c i l i n d r o i n i f i t o = 0,025   →   λ 1 = 0,2200     A 1 = 1,0062

Para a parede plana, vamos aproximar o valor para B i p a r e d e p l a n a = 0,1 , que é tabelado:

B i p a r e d e p l a n a = 0,102   ≅ 0,1   →   λ 1 = 0,3111   A 1 = 1,0161

Passo 3

Vamos agora calcular o tempo para que a temperatura no centro do cilindro atinja 300 ° C . Bem, o centro do cilindro aqui é basicamente o ponto onde x = L / 2 e r = 0 , bastando que a gente substitua nas soluções unidimensionais que eu te mostrei no passo anterior.

Primeiro, vamos resolver para o cilindro infinito:

ϴ c i l i n d r o i n f i n i t o 0 , t = 1,0062 e - 0,2200 2 0,0173 t ⁡ J 0 ( 0,2200 ) 0 R = ( 1,0062 ) e - 8,37 x 10 - 4 t J 0 ( 0 )

Devemos ir até a Tabela 4-3 (página 239) para encontrar o valor de J 0 ( 0 ) .

Pela Tabela, J 0 0 = 1 . Sendo assim:

ϴ c i l i n d r o i n f i n i t o 0 , t = ( 1,0062 ) e - 8,37 x 10 - 4 t 1 = ( 1,0062 ) e - 8,37 x 10 - 4 t

Agora, vamos resolver para a parede plana:

ϴ p a r e d e p l a n a L / 2 , t = 1,0161 e - 0,3111 2 0,0011 t ⁡ c o s ( 0,3111 ) L / 2 L = ( 1,0038 ) e - 1,07 x 10 - 4 t

Agora, basta multiplicar as soluções para encontrar o resultado para o cilindro curto:

ϴ c i l i n d r o c u r t o 0,0 , t = ( 1,0100 ) e - 9,44 x 10 - 4 t

Devemos lembrar, ainda, que

T r , x , t - T ∞ T i - T ∞ c i l i n d r o c u r t o =   ϴ c i l i n d r o c u r t o   → T 0,0 , t - T ∞ T i - T ∞ c i l i n d r o c u r t o =   ϴ c i l i n d r o c u r t o 0,0 , t

Sendo assim:

300   ° C - 1200   ° C 20   ° C - 1200   ° C c i l i n d r o c u r t o =   ( 1,0100 ) e - 9,44 x 10 - 4 t

Sendo assim:

1,0100 e - 9,44 x 10 - 4 t = 0,7627   → e - 9,44 x 10 - 4 t = 0,7551

Para encontrar o valor de t, devemos aplicar l n de ambos os lados:

l n - 9,44 x 10 - 4 t = l n ⁡ 0,7551 → - 9,44 x 10 - 4 t = - 0,2809 → t = 298   s = 5,0   m i n

Além disso,

τ c i l i n d r o i n f i n i t o = 0,0173 298 = 5,155 > 0,2

τ p a r e d e p l a n a = ( 0,0011 ) 310 = 0,327 > 0,2

Logo a hipótese que assumimos no começo estava correta.

Passo 4

O problema pede que a gente a transferência total de calor para o cilindro voltar a 20 ° C .

Presta atenção nesse insight: pra calcular a quantidade de calor total que o cilindro deve perder para voltar à temperatura inicial, basta que a gente calcule a quantidade de calor necessária para ele ir de 20 ° C até os 300 ° C no centro com os dados que já possímos.

Para isso, vamos utilizar a seguinte equação:

Q Q m á x c i l i n d r o c u r t o =   Q Q m á x c i l i n d r o i n f i n i t o +   Q Q m á x p a r e d e p l a n a 1 -     Q Q m á x c i l i n d r o i n f i n i t o

Para calcular a quantidade de calor transferido para as geometrias analisadas usamos as seguintes equações:

Q Q m á x c i l i n d r o i n f i n i t o = 1 - 2 A 1 e - λ 1 2 τ J 1 ( λ 1 ) λ 1

Q Q m á x p a r e d e p l a n a = 1 - A 1 e - λ 1 2 τ c o s ⁡ λ 1 2   s e n ( λ 1 ) λ 1

Mas, antes de tudo, devemos calcular o valor de Q m á x que é a quantidade de calor máxima que pode ser transferida do cilindro:

Q m á x = m c P T i - T ∞ =   ρ V c P T ∞ - T i

Onde V   =   π R 2 H = 5,3 x 10 - 3   m ³ é o volume do cilindro.

Assim:

Q m á x = 2702 k g m 3 5,3 x 10 - 3   m 3 0,896   k J k g . K 1200   ° C - 20   ° C = 15144,99   k J  

Devemos calcular também:

Q Q m á x c i l i n d r o i n f i n i t o = 1 - 2 1,0062 e - 0,2200 2 5,155 J 1 0,2200   0,2200   = 1 - 2 ( 3,564 ) J 1 0,2200  

Devemos ir novamente na Tabela 4-3, onde iremos encontrar J 1 0,2200   = 0,1093 partir da interpolação entre os valores de J 1 0,2   e J 1 0,3   disponíveis na tabela.

Logo, obtemos:

Q Q m á x c i l i n d r o i n f i n i t o = 1 - 2 3,56 0,1093 = 1 - 0,7791 = 0,2209

Além disso, vamos calcular para a parede plana:

Q Q m á x p a r e d e p l a n a = 1 - 0,9845 ( 0,9879 ) s e n 0,3111   0,3111   =     1 - 0,9726 0,3061 0,3111 = 0,0 430

Agora sim, finalmente podemos calcular a quantidade total de calor trocada pelo cilindro:

Q c i l i n d r o c u r t o = 15144,99   k J 0,2209 +   0,0430 1 -   0,2209 = 3852,91   k J

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