Enunciado

Um bloco de gelo cilíndrico ( k   =   2,22   W / m . K   e   α   =   0,124 x 10 - 7     m ² / s ) de 2 cm de altura é colocado com a base de 2 cm de diâmetro sobre uma sala a 24 °C. O coeficiente de transferência de calor nas superfícies expostas do bloco de gelo é 13   W / m 2 . K , e a transferência de calor a partir da base do bloco de gelo na mesa é desprezível. Considerando que o bloco de gelo não começa a derreter em qualquer ponto durante pelo menos 3 horas, determine a temperatura inicial do bloco de gelo.

Passo 1

Vamos analisar o enunciado juntos e entender o que o problema quer de você.

Em primeiro lugar, perceba que as dimensões do cilindro são muito próximas entre si, e não podemos considerar uma transferência de calor unidimensional.

No entanto, como todo o cilindro está imerso no mesmo fluido (ar) e submetido ao mesmo coeficiente de transferência de calor, além de não haver geração, podemos aproximar a resolução desse cilindro multidimensional como o produto das soluções analíticas de um cilindro infinito e uma parede plana

ϴ c i l i n d r o c u r t o = ϴ c i l i n d r o i n f i n i t o ∙   ϴ p a r e d e p l a n a    

Ou seja:

T r , x ,   t - T ∞ T i - T ∞ c i l i n d r o c u r t o = T r , t - T ∞ T i - T ∞ c i l i n d r o i n f i n i t o ∙ T x , t - T ∞ T i - T ∞ p a r e d e p l a n a  

Além disso, esse problema tem uma “pegadinha”. Mas não se preocupe, eu vou te ensinar como não cair nela em nenhuma outra questão do tipo.

A pegadinha está no fato do cilindro de gelo estar em uma mesa. Preste atenção nessa imagem:

As linhas vermelhas representam o sentido da transferência de calor. Veja que, nos lados do bloco que formam a base, expostos de ambos os lados à convecção, existem um plano de simetria apontando para o centro da base, onde os vetores do fluxo de calor se anulam. Portanto, podemos considerar sua dimensão característica R como sendo o raio do cilindro, ou seja, metade do diâmetro.

Mas preste atenção na dimensão correspondente à altura desse bloco. Como a base está sobre uma mesa onde não há transferência de calor, temos apenas um vetor vindo do ambiente externo. Ou seja, a dimensão característica L deve ser correspondente a toda a altura do bloco, ou nossa análise estaria errada.

Além disso, a questão pede que a gente analise onde o bloco começará a derreter. Bem, ele irá começar a derreter quando algum dos pontos do bloco atingir 0 °C. Além disso, o primeiro lugar onde isso irá ocorrer irá ser na parte superior do bloco e na superfície externa, ou seja, nos lugares onde x   =   L   e r   =   R   .

Ou seja, T   R , L ,   t = 0   ° C , onde essas são as dimensões características do bloco.

Agora, pra gente não se perder, vamos guardar as propriedades que vamos usar nos próximos passos:

T ∞ = 24   ° C k   =   2,22   W / m . K α   =   0,124 x 10 - 7   m ² / s h = 13   W / m 2 . K

Passo 2

Agora, devemos calcular os adimensionais (Número de Biot e Número de Fourier) para cada uma das geometrias analisadas.

Vamos lembrar que a dimensão característica para um cilindro infinito é o seu raio (R) e para uma parede plana submetida a convecção em ambos os lados é metade de sua espessura total, que, nesse caso, é a altura do cilindro (2L). Assim:

L = 2   c m   = 0,02   m R = ( 2   c m ) / 2   = 1   c m   = 0,01   m

Primeiro, vamos calcular o Número de Fourier (τ) para as duas geometrias. Vamos lembrar que, segundo o enunciado o processo ocorre em 3 h, ou seja, 10800 s . Sendo assim:

τ c i l i n d r o i n f i n i t o =   α t R ² =   ( 0,124 x 10 - 7   m ² / s ) ( 10800   s ) ( 0,01   m ) ² = 1,339

τ p a r e d e p l a n a =   α t L ² =   ( 0,124 x 10 - 7   m ² / s ) ( 10800   s ) ( 0,02   m ) ² = 0,335

Note que ambos os valores de τ foram maiores que 0,2. Isso garante que nosso problema está sendo analisando em tempos muito longos, e podemos aproximar as soluções individuais dos perfis de temperatura para:

ϴ c i l i n d r o i n f i n i t o ( r , t ) =   A 1 e - λ 1 ² τ ⁡ J 0 ( λ 1 r / R )

ϴ p a r e d e p l a n a ( x ,   t ) =   A 1 e - λ 1 ² τ c o s ⁡ ( λ 1 x / L )

Agora, vamos calcular o número de Biot para as duas geometrias:

B i c i l i n d r o i n i f i t o =   h R k =   ( 13   W / m 2 . K ) ( 0,01   m ) 2,22   W / m . K = 0,059   ≅ 0,06  

B i p a r e d e p l a n a =   h L k =   ( 13   W / m 2 . K ) ( 0,02   m ) 2,22   W / m . K = 0,117  

Iremos agora até a Tabela 4-2 (página 239), onde vamos usar os valores de B i para ambas as geometrias para encontrar A 1 e λ 1   para as duas:

B i c i l i n d r o i n i f i t o = 0,06   →   λ 1 = 0,3438   A 1 = 1,0148

Já para a parede plana, devemos fazer uma interpolação entre 0,1 e 0,2:

B i p a r e d e p l a n a = 0,117   →   λ 1 = 0,3318   A 1 = 1,0187

Passo 3

Vamos resolver as soluções unidimensionais.

Primeiro, vamos resolver para o cilindro:

ϴ c i l i n d r o i n f i n i t o R , 10800 s = 1,0148 e - 0,3438 2 1,339 ⁡ J 0 ( 0,3438 ) R R = ( 0,8663 ) J 0 ( 0,3438 )

Devemos ir até a Tabela 4-3 (página 239) para encontrar o valor de J 0 ( 0,3438 ) . Como esse valor não é tabelado, vamos interpolar entre J 0 ( 0,3 ) e J 0 ( 0,4 ) .

Portanto, J 0 0,3438 = 0,9701 . Sendo assim:

ϴ c i l i n d r o i n f i n i t o R , 10800 s = 0,8663 0,9701   = 0,8404

Agora, vamos resolver para a parede plana:

ϴ p a r e d e p l a n a L , 10800 s s = 1,0187 e - 0,3318 ² 0,117   ⁡ c o s ( 0,3318 ) L L = 0 , 9508

Agora, basta multiplicar as soluções para encontrar o resultado para o cilindro curto:

ϴ c i l i n d r o c u r t o R , L , 108 00 s = 0,8404 0,9508 = 0 , 7991

Devemos lembrar, ainda, que

T R , L , 108 00   s - T ∞ T i - T ∞ c i l i n d r o c u r t o =   ϴ c i l i n d r o c u r t o R , L , 10800   s

Sendo assim:

0   ° C - 24   ° C T i - 24   ° C c i l i n d r o c u r t o =   0,7991 →     T R , L , 10800   s = - 6,03   ° C

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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