Enunciado

Repita o Problema 12-53 considerando que a velocidade de entrada é desprezível.

Passo 1

Olá, galera! Tudo bem? Esse é um exercício sobre escoamento isentrópico (entropia é constante) de ar através do bocal.

A questão nos dá informações do ar que entra no bocal (onde a velocidade V do fluido vale zero) e quer saber a pressão e a temperatura do ar, onde o número de Mach M a é igual a 1 M a = 1 . Além disso, ela quer saber quanto vale a divisão entre a área de entrada do bocal A e a área onde M a = 1 .

Como vemos pela imagem acima, identificamos as propriedades onde M a = 1 com um asterisco * acima delas. Chamamos essas propriedades de um fluido, quando M a = 1 , de propriedades críticas. Além disso, identificamos as propriedades onde V = 0 com um zero 0 abaixo delas. Chamamos as propriedades de um fluido, quando V = 0 , de propriedades de estagnação.

P 0 , V 0 e T 0 são a pressão, a velocidade e a temperatura de estagnação do ar. P * , T * e A * são a pressão, a temperatura e a área críticas do ar (são a pressão, a temperatura e a área do ar, quando M a = 1 ).

Ou seja, a questão quer saber:

  1. quanto vale a pressão crítica P * do escoamento. Resolveremos isso usando a equação relaciona que a pressão de estagnação P 0 com a pressão crítica P * (equação 12-22 do livro).
  2. P * P 0 = 2 k + 1 k k - 1

  3. quanto vale a temperatura crítica do escoamento. Resolveremos isso usando uma equação que relaciona a temperatura de estagnação T 0 com a temperatura crítica T * (equação 12-21 do livro).
  4. T * T 0 = 2 k + 1

  5. quanto vale a razão de áreas A * / A do escoamento. Resolveremos isso usando a equação que relaciona a área A com a área crítica A * (equação 12-26 do livro).

A A * = 1 M a 2 k + 1 1 + k - 1 2 M a 2 k + 1 2 k - 1

Passo 2

Nesse passo, resolveremos o primeiro tópico que a questão quer saber: quanto vale P * . Pra isso, vamos usar a equação que mencionamos.

P * P 0 = 2 k + 1 k k - 1       ⟹       P * = P 0 ⋅ 2 k + 1 k k - 1

onde k é a razão de calores específicos k = c p / c v e que vale 1,4 para o ar.

Usando os dados na fórmula de P * , achamos:

P * = P 0 ⋅ 2 k + 1 k k - 1

P * = 0,2 ⋅ 2 1,4 + 1 1,4 1,4 - 1       ⟹       P * = 0,106   M P a

Passo 3

Nesse passo, resolveremos o segundo tópico que a questão quer saber: quanto vale T * . Pra isso, vamos usar a equação que mencionamos.

T * T 0 = 2 k + 1       ⟹       T * = T 0 ⋅ 2 k + 1

Substituindo os dados na equação acima, achamos:

T * = 350 ⋅ 2 1,4 + 1       ⟹       T * = 291,7   K

Passo 4

Nesse passo resolveremos o terceiro e último tópico: quanto vale A * / A . Para isso, basta inverter a fórmula que mencionamos.

A A * = 1 M a 2 k + 1 1 + k - 1 2 M a 2 k + 1 2 k - 1     ⟹     A A * = 2 k + 1 1 + k - 1 2 M a 2 k + 1 2 k - 1 M a

A * A = 2 k + 1 1 + k - 1 2 M a 2 k + 1 2 k - 1 M a - 1

A * A = M a 2 k + 1 1 + k - 1 2 M a 2 k + 1 2 k - 1

No entanto, para usar essa fórmula precisamos calcular o número de Mach M a do fluido na entrada do bocal. Ele é calculado pela equação abaixo.

M a = V c

onde c é a velocidade do som do ar na entrada do bocal.

A equação de c , quando o fluido é um gás ideal (como é o nosso caso, porque o ar pode ser considerado um gás ideal) se encontra abaixo.

c = k R T 0

onde R é a constante do gás que vale 287   J / k g K para o ar.

Substituindo os dados que temos, achamos c .

c = k R T e       ⟹       c = 1,4 ⋅ 287 ⋅ 350       ⟹       c = 375,01   m / s

Substituindo c na equação de M a , encontramos:

M a = V c     ⟹     M a = 0 375,01     ⟹     M a = 0

Substituindo os dados, a fórmula fica:

A * A = 0 2 1,4 + 1 1 + 1,4 - 1 2 ⋅ 0 2 1,4 + 1 2 1,4 - 1

A * A = 0

Esse resultado mostra que a área A da entrada do bocal é muito maior que a área A * do bocal onde M a = 1 . Por isso, a divisão de A * por A resulta em um número desprezível A * A ≅ 0 .

Resposta

P * = 0,106   M P a

T * = 291,7   K

A * A = 0

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