Enunciado

Repita o Problema 6-22 para o caso de outro cotovelo (idêntico) anexado ao cotovelo existente, para que o fluido faça uma volta em U.

Passo 1

O exercício quer que a gente calcule para a volte em U tudo o que a gente calculou para o cotovelo. Ou seja, ele quer que a gente calcule primeiro a pressão manométrica P 1 da linha de corrente central da entrada da volta em U. Depois, ele quer que a gente a força F que faz a volta em U ficar parado. Essa força tem duas componentes: a componente horizontal F x (do eixo x ) e a componente vertical (do eixo y ) . A figura abaixo mostra a linha de corrente central da volta em U e alguns dados fornecidos pelo enunciado.

D é o diâmetro da seção transversal da volta em U. P 2 é a pressão manométrica linha de corrente central da saída da volta em U. Ela vale zero, porque é igual à pressão atmosférica. V 1 é a velocidade de entrada da água e V 2 é a velocidade de saída da água. z 2 - z 1 é a diferença de altitude entre a entrada e a saída da volta em U. m ˙ é a vazão de água através da volta em U. F x é a componente horizontal e F y é a componente vertical da força F que faz a volta em U ficar parado. g é a aceleração da gravidade.

Para encontrar P 1 de forma mais fácil temos que entender uma informação que o enunciado esconde da gente e temos que fazer algumas simplificações. No próximo passo faremos isso.

Passo 2

Quando o enunciado da questão 6-22 fala que o cotovelo é usado para direcionar o escoamento da água a uma taxa de 25   k g / s , ele quer dizer que a vazão de entrada de água é igual à vazão de saída! Isso também serve para a volta em U! Isso é uma forma do enunciado dizer que o escoamento de água está em regime permanente.

Além disso, para diminuir as contas que a gente precisa fazer podemos fazer algumas simplificações. Podemos considerar que a água é incompressível ( ρ constante através do escoamento), sem atrito e irrotacional (vorticidade vale zero em todo o escoamento). Fazendo todas essas simplificações, podemos usar a equação de Bernoulli na linha de corrente central do escoamento de para calcular P 1 .

P 1 ρ + V 1 2 2 + g z 1 = P 2 ρ + V 2 2 2 + g z 2

onde ρ é a densidade da água.

Podemos calcular V 1 e V 2 através da fórmula de vazão.

m ˙ = ρ ⋅ V 1 ⋅ A       ⟹       V 1 = m ˙ ρ ⋅ A       ⟹       V 1 = m ˙ ρ ⋅ π ⋅ D 2 4

m ˙ = ρ ⋅ V 2 ⋅ A       ⟹       V 2 = m ˙ ρ ⋅ A       ⟹       V 2 = m ˙ ρ ⋅ π ⋅ D 2 4

Pelas fórmulas de V 1 e V 2 , podemos notar que as duas velocidades são iguais. Substituindo isso na fórmula e lembrando que P 2 é nulo, achamos:

P 1 = ρ g ( z 2 - z 1 )

Passo 3

Substituindo os dados na fórmula de P 1 , achamos o valor dessa pressão. No entanto, antes disso precisamos converter z 2 - z 1 de centímetro c m para metro m .

z 2 - z 1 = 70   c m       ⟹       z 2 - z 1 = 0,70   m

Também precisamos considerar que a densidade da água ρ vale 1000   k g / m 3 . Esse é o valor da densidade da água na pressão atmosférica e na temperatura ambiente!

P 1 = ρ g z 2 - z 1     ⟹       P 1 = 1000 ⋅ 9,81 ⋅ 0,70       ⟹       P 1 = 6867   P a

Passo 4

Para calcular as forças F x e F y que são necessárias para manter a volta em U sem se mover horizontalmente e verticalmente, vamos adaptar a equação 6 - 27 do livro (segunda lei de Newton) para o nosso caso.

∑ F x = m ˙ ⋅ β 2 ⋅ V 2 , x - β 1 ⋅ V 1 , x

onde ∑ F x é o somatório das forças horizontais (no eixo x ) sobre o volume de controle, β 1 é o fator de correção para o escoamento que entra no volume de controle. β 2 é o fator de correção para o escoamento que sai do volume de controle. Esses dois fatores de conversão valem 1,03 segundo o enunciado.

β 1 = β 2 = 1,03

V 1 , x é a velocidade da água no eixo x entrando na volta em U. V 2 , x é a velocidade da água no eixo x saindo da volta em U. A velocidade V 2 é horizontal pra esquerda. Logo, sua componente horizontal vale - V 2 V 2 , x = - V 2 . Além disso, a velocidade V 1 também é horizontal. Logo, sua componente horizontal é igual à V 1 V 1 , x = V 1 .

∑ F x = m ˙ ⋅ β 2 ⋅ V 2 , x - β 1 ⋅ V 1 , x       ⟹       ∑ F x = m ˙ ⋅ - β 2 ⋅ V 2 - β 1 ⋅ V 1

∑ F x = - 2 ⋅ m ˙ ⋅ β 1 ⋅ m ˙ ρ ⋅ π ⋅ D 2 4       ⟹       ∑ F x = - 8 ⋅ β 1 ⋅ m ˙ 2 ρ ⋅ π ⋅ D 2

As forças do eixo x são apenas as forças que as pressões P 1 e P 2 exercem sobre a entrada e a saída da volta em U e a força F x . Como as três forças têm o mesmo sentido (da esquerda para a direita), a força resultante é igual à soma entre as forças das pressão P 1 e P 2 e F x .

∑ F x = P 1 ⋅ A + P 2 ⋅ A + F x     ⟹       ∑ F x = P 1 ⋅ π ⋅ D 2 4 + P 2 ⋅ π ⋅ D 2 4 + F x

Substituindo isso na equação anterior, encontramos:

∑ F x = - 8 ⋅ β 1 ⋅ m ˙ 2 ρ ⋅ π ⋅ D 2       ⟹       P 1 ⋅ π ⋅ D 2 4 + P 2 ⋅ π ⋅ D 2 4 + F x = - 8 ⋅ β 1 ⋅ m ˙ 2 ρ ⋅ π ⋅ D 2

F x = - 8 ⋅ β 1 ⋅ m ˙ 2 ρ ⋅ π ⋅ D 2 - P 1 ⋅ π ⋅ D 2 4 - P 2 ⋅ π ⋅ D 2 4

Passo 5

Para encontrar F y temos que adaptar a equação de ∑ F x .

∑ F y = m ˙ ⋅ β 2 ⋅ V 2 , y - β 1 ⋅ V 1 , y

onde ∑ F y é o somatório das forças verticais (no eixo y ) sobre o volume de controle.

V 1 , y é a velocidade da água no eixo y entrando na volta em U. V 2 , y é a velocidade da água no eixo x saindo da volta em U. A velocidade V 2 é horizontal. Logo, sua componente vertical é igual a zero V 2 , y = 0 . Além disso, a velocidade V 1 também é horizontal. Logo, sua componente vertical vale zero V 1 , y = 0 .

∑ F y = m ˙ ⋅ β 2 ⋅ V 2 , y - β 1 ⋅ V 1 , y     ⟹       ∑ F y = m ˙ ⋅ β 2 ⋅ 0 - β 1 ⋅ 0

∑ F y = 0

Já as forças do eixo y é apenas a força F y .

∑ F y = F y

Substituindo isso na equação anterior, encontramos:

∑ F y = 4 ⋅ β 2 ⋅ m ˙ 2 ρ ⋅ π ⋅ D 2       ⟹       F y = 0   N

Passo 6

Substituindo os dados na fórmula de F x somos capazes de encontrar o valor dessa componente da força total F . No entanto, antes disso precisamos converter D de centímetro c m para metro m .

D = 10   c m       ⟹       D = 0,10   m

F x = - 8 ⋅ β 1 ⋅ m ˙ 2 ρ ⋅ π ⋅ D 2 - P 1 ⋅ π ⋅ D 2 4 - P 2 ⋅ π ⋅ D 2 4

F x = - 8 ⋅ 1,03 ⋅ 25 2 1000 ⋅ π ⋅ 0,10 2 - 6867 ⋅ π ⋅ 0,10 2 4 - 0 ⋅ π ⋅ 0,10 2 4

F x = - 217,9   N

Para calcular F total, fazemos a soma dos quadrados dos componentes e depois aplicamos a raiz quadrada.

F = F x 2 + F y 2       ⟹       F = - 217,9 2 + 0 2       ⟹       F = 217,9   N

Resposta

a   P 1 = 6867   P a

b   F = 217,9   N

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Dados D 1 = 10c m ; ρ = 1000k g / m 3 ; H p 0,1 = 2,8m ; D 2 = 8c m ; H p 0 , e = 1,5m ; H p s , 2 = 2,4m ; η B = 0,7 . Calcular:a) a potência no eixo da bomba para que o corpo apoiado nas rodas sem a
Um jato atinge uma pá que se localiza num plano inclinado. O peso do conjunto é 40 N e a área do jato é 50 cm². Qual deverá ser a velocidade do jato para que o sistema permaneça em equilíbrio? ( γ = 1
Dado o esquema da figura, sabendo que a seção do jato tem uma área de 520 cm² e que a área do pistão é 20 cm², determinar a vazão no bocal. Dados: γ H 2 O = 10 4N / m 3 ; γ H g = 1,36.10 5N / m 3 . Ob
Um fabricante de brinquedos constrói um carrinho impulsionado pelo ar de uma bexiga. No instante inicial em que é liberado o ar, determinar:a) a força de propulsão;b) a pressão do ar da bexiga, despre
Sabendo que o sistema da figura encontra-se em equilíbrio, desprezando as perdas, determinar a altura h 0 . ( γ H 2 O = 10 4N / m 3 ; γ = 2.10 4N / m 3 ; A p = 8.10 - 3m 2 ; h 1 = 78,5c m ; Q = 15,7L