Enunciado

Dados D 1 = 10   c m ; ρ = 1000   k g / m 3 ; H p 0,1 = 2,8   m ; D 2 = 8   c m ; H p 0 , e = 1,5   m ; H p s , 2 = 2,4   m ; η B = 0,7 . Calcular:

a) a potência no eixo da bomba para que o corpo apoiado nas rodas sem atrito permaneça parado;

b) a força que o corpo exerce sobre o solo, sendo o seu peso G = 250   N .

(Desprezar o peso do trecho (1)-(3) do jato.)

Passo 1

Vamos começar o exercício aplicando o equilíbrio de cargas entre os pontos 0 e 1:

H 0 = H 1 + H p 0,1

v 0 2 2 g + p 0 γ + z 0 = v 1 2 2 g + p 1 γ + z 1 + H p 0,1

Substituindo os valores conhecidos:

0 2 2 ( 10 ) + 0 10 4 + 5 = v 1 2 2 10 + 0 10 4 + 2,8 → v 1 = 6,63   m / s

Agora vamos aplicar a equação da força exercida pelo fluido em um anteparo entre os pontos 1 e 3, a equação então se torna:

F → s = - p 1 A 1 n → 1 + p 3 A 3 n → 3 + Q m v → 3 - v → 1

Vamos aplicar a equação na direção x ( → ) :

F s x = - 0 A 1 - 1 + 0 A 3 cos ⁡ 60 ° + Q m v 3 cos ⁡ 60 ° - v 1 → F s x = Q m v 1 - v 3 cos ⁡ 60 °

Como a vazão é constante e o diâmetro do jato também, então temos v 1 = v 3 = v e , e podemos escrever a vazão mássica como:

Q m = ρ Q = ρ v e A j

Substituindo essa expressão na equação para a força, temos:

F s x e = ρ v e A j v e - v e cos ⁡ 60 ° → F s x e = ρ v e 2 A j ( 1 - cos ⁡ 60 ° )

Substituindo os valores conhecidos, temos:

F s x e = 1000 6,63 2 π 0,1 2 4 1 - 1 2 → F s x e = 172,8   N

Passo 2

Agora vamos aplicar a equação para a força exercida pelo fluido novamente, só que entre os trechos 2 e 4, dessa forma, a equação se torna:

F → s = - p 2 A 2 n → 2 + p 4 A 4 n → 4 + Q m v → 4 - v → 2

Vamos aplicar a equação na direção x ( → ) :

F s x = - 0 A 2 1 + 0 A 4 0 + Q m 0 - v 2 → F s x = Q m v 2

Podemos escrever a vazão mássica como:

Q m = ρ Q = ρ v 2 A 2

Substituindo essa expressão na equação para a força, temos:

F s x d = ρ v 2 A 2 v 2 → F s x d = ρ v 2 2 A 2

Para que o carrinho permaneça parado, então a força da esquerda e da direita devem ser iguais, dessa forma, temos:

F s x e = F s x d → 172,8 = ρ v 2 2 π D 2 2 4

Substituindo os valores conhecidos, temos:

172,8 = 1000 v 2 2 π 0,08 2 4 → v 2 = 5,86   m / s

Agora vamos aplicar o equilíbrio de cargas entre os pontos 0 e 2:

H 0 + H B = H 2 + H p 0,2

v 0 2 2 g + p 0 γ + z 0 + H B = v 2 2 2 g + p 2 γ + z 2 + H p 0,2

Substituindo os valores conhecidos:

0 2 2 ( 10 ) + 0 10 4 + 5 + H B = 5,86 2 2 10 + 0 10 4 + 3,9 → H B = 0,62   m

Agora vamos calcular a vazão na parte do sistema que contém a bomba através de:

Q = v 2 A 2 = v 2 π D 2 2 4 = 5,86 π 0,08 2 4 → Q = 0,0294   m 3 / s

E, com a vazão, podemos finalmente encontrar a potência da bomba, dada por:

N B = γ Q H B η B = 10 4 0,0294 0,62 0,7 → N B = 260,4   W

Passo 3

Agora para resolver a letra b), vamos usar novamente a equação da força exercida pelo fluido entre os pontos 1 e 3:

F → s = - p 1 A 1 n → 1 + p 3 A 3 n → 3 + Q m v → 3 - v → 1

Só que agora vamos aplicar a equação na direção y   ( ↑ ) :

F s y = - 0 A 1 0 + 0 A 3 sin ⁡ 60 ° + Q m v 3 sen ⁡ 60 ° - 0 → F s y = - Q m v 3 s e n   60 °

Como a vazão é constante e o diâmetro do jato também, então temos v 1 = v 3 = v e , e podemos escrever a vazão mássica como:

Q m = ρ Q = ρ v e A j

Substituindo essa expressão na equação para a força, temos:

F s y e = ρ v e A j v e s e n   60 ° → F s y e = ρ v e 2 A j sen ⁡ 60 °

Substituindo os valores conhecidos, temos:

F s y e = 1000 6,63 2 π 0,1 2 4 3 2 → F s y e = - 299   N

Agora vamos aplicar a equação para a força exercida pelo fluido novamente, só que entre os trechos 2 e 4, dessa forma, a equação se torna:

F → s = - p 2 A 2 n → 2 + p 4 A 4 n → 4 + Q m v → 4 - v → 2

Vamos aplicar a equação na direção y   ( ↑ ) :

F s y = - 0 A 2 0 + 0 A 4 - 1 + Q m - v 4 - 0 → F s y d = Q m v 4

Como a vazão mássica é constante e o diâmetro do jato também, então temos v 2 = v 4 = v d . E podemos escrever a vazão mássica como:

Q m = ρ Q = ρ v d A d

Substituindo essa expressão na equação para a força, temos:

F s y d = ρ v d A d v 2 → F s y d = ρ v d 2 A d

Substituindo os valores conhecidos, temos:

F s y d = 1000 5,86 2 π 0,08 2 4 → F s y d = 172,6   N

Assim, a força resultante no solo ( ↓ ) será:

F s o l o = F s y e - F s y d + G = 299 - 172,6 + 250 → F s o l o = 376,4   N

Resposta

N B = 260,4   W

F s o l o = 376,4   N

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