Enunciado

O reservatório da figura possui uma parede móvel A B , articulada em A . Sua largura é 1,5   m e está em equilíbrio nas condições indicadas. Calcular:

  1. A força que age na face direita da comporta devido à água;
  2. A força que deve ser aplicada em B para que seja mantido o equilíbrio.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

O item “a” nos pede a força que age na face direita da comporta devido à água. Vamos chamar essa força de F á g u a .

Sabemos que a água exerce uma pressão sobre a parede formando um prisma de pressão sobre a comporta. Observe o diagrama abaixo:

Pela teoria a força provocada na parede é igual ao volume do prisma de pressão gerado pela água.

Se observarmos bem, o prisma de pressão que diz respeito à parte da comporta é um prisma trapezoidal. O volume de um prisma trapezoidal é dado por:

V = B a s e   m a i o r + B a s e   m e n o r ⋅ A l t u r a 2 ⋅ L a r g u r a

Portanto, aplicando ao problema, temos que:

F á g u a = P B + P A 2 h w

Onde P A seria a base menor, P B a base maior, h a altura igual a 1   m e w a largura igual a 1,5   m . Substituindo os valores e resolvendo, temos que:

F á g u a = γ h B + γ h A 2 1 1,5

F á g u a = 10 4 1,5 + 10 4 0,5 2 1 1,5

F á g u a = 15000   N

Passo 2

O item “b” nos pede a força necessária em B para manter o sistema em equilíbrio. Primeiro vamos descobrir a pressão do ar.

A pressão do ar é obtida a partir da análise da escala de mercúrio. Ela equivale ao nível de 0,037   m de mercúrio. Logo:

P a r = γ H g 0,037

P a r = 136000 0,037

P a r = 5032   P a

Agora que vem a sacada da questão. Quanto de óleo formaria uma pressão desta magnitude?

5032 = γ o ( h o ' )

Temos que:

h o ' = 5032 9000

h o ' = 0,56   m  

Ou seja, uma coluna de 0,56   m de óleo equivale à pressão do ar no reservatório. Então podemos representar o nosso sistema da seguinte forma:

Passo 3

Temos então a seguinte situação:

Podemos encontrar a força provocada pelo óleo assim como encontramos a força provocada pela água no item “a”. Temos que:

F ó l e o = γ o h B + γ o h A 2 1 1,5

F ó l e o = 9000 1,5 6 + 9000 0,5 6 2 1 1,5

F ó l e o = 14310   N

Passo 4

Sabemos que o somatório de momentos em A deve ser nulo. Para aplicar o somatório de momentos e descobrir F B , temos que saber as alturas dos centros de aplicação das forças.

A equação do centro de pressão é dada por:

y C P = y C G + I C G y C G A

Vamos aplicar para cada caso. Sabendo que:

y C G á g u a = 1 2 + 0,5

y C G á g u a = 1   m

Que é a medida do topo do nível da água até o centro de gravidade, no caso metade, da comporta.

Temos também que:

y C G ó l e o = 1 2 + 0,5 6

y C G ó l e o = 1 , 06   m

Como estamos trabalhando para a mesma comporta, os momentos de inércia em cada cálculo serão iguais. Temos que:

I C G = b h 3 12

Ou seja:

I C G = ( 1,5 ) 1 3 12

I C G = 0,125   m 4

A área será:

A = 1 ⋅ 1,5

A = 1,5   m 2

Passo 5

Portanto, teremos que:

y C P á g u a = y C G á g u a + I C G y C G á g u a A

y C P á g u a = 1 + 0,125 1 ⋅ 1,5

y C P á g u a = 1,0833   m

E:

y C P ó l e o = y C G ó l e o + I C G y C G ó l e o A

y C P ó l e o = 1 , 06 + 0,125 1 , 06 ⋅ 1,5

y C P ó l e o = 1 , 1386   m

Passo 6

Agora que sabemos os centros de aplicação das respectivas forças, podemos aplicar o somatório de momentos em A e encontrar F B . Temos que:

F B 1 + F ó l e o 1,1386 - 0,56 = F á g u a 1,0833 - 0,5

Portanto:

F B = 15000 1,0833 - 0,5 - 14310 1,1386 - 0,56

F B = 469,734   N

Resposta

a )   F á g u a = 15000   N

b )   F B = 469,734   N

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