Enunciado

Uma resistência elétrica de aquecimento de 800 W com 40 cm de comprimento, 0,5 cm de diâmetro e 120 °C de temperatura superficial está imersa em 75 kg de água, inicialmente a 20 °C. Determine em quanto tempo esse aquecedor eleva a temperatura da água a 80 °C. Além disso, determine os coeficientes de transferência de calor por convecção no início e no final do processo de aquecimento.

Passo 1

Vou analisar o enunciado junto com você pra gente entender o que o problema quer de você.

Primeiro, vamos fazer um balanço de energia para o sistema:

Q ˙ e n t -   Q ˙ s a i +   E ˙ g e r =   d E d t  

Essa equação pode ser lida como “a taxa líquida de calor que sai de um sistema, mais a geração de energia na forma de calor é igual à variação de energia do sistema”.

Antes de tudo, vamos delimitar que nosso volume de controle é a água onde a resistência está submersa.

Em primeiro lugar, pelo enunciado da questão, podemos considerar uma situação de regime permanente, onde d E / d t     =   0 .

Além disso, sabemos que nenhum calor sai do volume de controle e, portanto, Q ˙ s a i = 0 .

Além disso, sabemos que a resistência gera energia a uma taxa de 800 W .

Sendo assim, nosso balanço torna-se:

Q ˙ e n t = E ˙ g e r = 800   W  

Passo 2

Para calcular o tempo que o aquecedor leva para elevar a temperatura da água a 80 °C, devemos lembrar que a quantidade de calor transferido é igual ao produto da taxa pelo tempo:

Q e n t =   Q ˙ e n t ∆ t  

Além disso, devemos lembrar que a quantidade de calor é igual ao produto da massa e da capacidade calorífica da água pelo gradiente de temperatura:

Q e n t = m c ∆ T

Pela Tabela A-9 (página 878), o calor específico da água a temperatura ambiente (25 ° C ) é c = 4180   J / k g . K .

Sendo assim:

Q e n t = m c ∆ T = 75   k g ( 4180   J / k g . K ) ( 80   ° C - 20   ° C )   =   1,881 x 10 7   J

Agora podemos calcular o tempo:

∆ t = Q e n t Q ˙ e n t   1,881 x 10 7   J 800   W = 23512   s = 6,53   h

Passo 3

Para calcular os coeficientes de transferência de calor por convecção temos que lembrar da lei de Newton do Resfriamento:

Q ˙ e n t = h A s ( T S -   T ∞ )

Como a resistência tem formato cilíndrico, devemos calcular a área superficial dele como um cilindro:

A s =     π D L =   π 0,005 m 0,40 m = 0,00628   m 2

No começo do processo, quando a temperatura da água está a 20 ° C , temos:

h 1 =   800   W ( 0,00628   m 2 ) ( 12 0   ° C - 20   ° C ) = 1273,9 W m 2 ° C

Da mesma maneira, ao fim do processo, quando a temperatura da água está a 80 ° C , temos:

h 2 =   800   W ( 0,00628   m 2 ) ( 12 0   ° C - 8 0   ° C ) = 3184,7 W m 2 ° C

Resposta

Como demonstrado nos passos anteriores, o tempo para elevar a temperatura da água a 80 °C é de t = 6,53   h , e os coeficientes de transferência de calor no começo e no fim do processo são, respectivamente, h 1 = 1273,9 W m 2 ° C e h 2 = 3184,7 W m 2 ° C   .

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