Enunciado

Um resistor elétrico está conectado a uma bateria, conforme mostrado no esquema. Após um curto período em condições transientes, o resistor atinge uma temperatura de equilíbrio de   95 ° C , aproximadamente uniforme. A bateria e os fios condutores, por sua vez, permanecem à temperatura ambiente de   25 ° C . Despreze a resistência elétrica nos fios condutores.

(a) Considere o resistor como um sistema ao redor do qual uma superfície de controle é posicionada e a Equação 11.2 c   é aplicada. Determine os valores correspondentes de   Ė e n t   ( W ), Ė g   ( W ) ,   Ė s a i   W e Ė a c u   ( W ) .   Se uma superfície de controle for colocada ao redor de todo o sistema, quais são os valores de   Ė e n t   ( W ), Ė g   ( W ) ,   Ė s a i   W e Ė a c u   ( W ) ?

(b) Se energia elétrica for dissipada uniformemente no interior do resistor, que é um cilindro com diâmetro D   =   60   m m   e comprimento L   =   250   m m , qual é a taxa de geração de calor volumétrica, q ˙ ( W / m 3 ) ?

(c) Desprezando a radiação a partir do resistor, qual é o coeficiente convectivo?

Passo 1

Essa questão é meio grandinha mas juntos a gente chega lá, beleza?... Aqui, nós temos um resistor conectado a uma bateria operando a uma temperatura prescrita no ar.

Dado o desenho esquemático do enunciado, precisamos determinar os valores correspondentes para Ė e n t   ( W ), Ė g   ( W ) ,   Ė s a i   W e Ė a c u   W , calcular a taxa volumétrica de geração de calor dentro do resistor, q ˙ = ( W / m 3 ) . Além disso, negligenciando a radiação do resistor, precisamos determinar o coeficiente de convecção.

Vamos começar pelas considerações!

Passo 2

Para resolver essa questão, vamos assumir que:

  1. A energia elétrica é dissipada uniformemente dentro do resistor;
  2. A temperatura do resistor é uniforme;
  3. A energia elétrica dissipada nos fios condutores é desprezível;
  4. A Troca de radiação entre o resistor e o ambiente é desprezível;
  5. Não ocorre transferência de calor da bateria;
  6. Estamos em condições de estado estacionário.

Ufa! Bastante coisa, mas agora podemos resolver nossa questão em paz \o/

A conservação de energia necessária para o volume de controle em um instante de tempo é:

Ė e n t + Ė g -   Ė s a i   = Ė a c u  

onde Ė e n t   e     Ė s a i correspondem aos processos de entrada e saída de superfície, respectivamente. O termo de geração de energia   Ė g , está associado à conversão de alguma outra forma de energia (química, elétrica, eletromagnética ou nuclear) em energia térmica. O termo Ė a c u   está associado a alterações na energia interna, cinética e / ou potencial da matéria no volume de controle.

Ė g   e   Ė a c u   são fenômenos do volume de controle. A energia elétrica fornecida pela bateria é:

P   =   V I   =   24 V   ×   6 A   =   144   W

Passo 3

Fazendo a letra (a) temos duas situações, a primeira é considerando o nosso volume de controle sendo o resistor, temos:

E ˙ e n t r a = 0

Ė s a i = 144   W

Ė g = 144   W  

Ė a c u = 0

O termo Ė g   é devido à conversão de energia elétrica em energia térmica e o termo Ė s a i é devido à convecção da superfície do resistor para o ar.

Na segunda situação vamos considerar o volume de controle como sendo o sistema bateria-resistor, temos:

E ˙ e n t r a = 0

Ė s a i = 144   W

Ė g = 0

Ė a c u = - 144   W  

O termo Ė a c u representa a diminuição da energia química dentro da bateria. A conversão de energia química em energia elétrica e sua subsequente conversão em energia térmica são processos internos ao sistema que não estão associados a   Ė a c u   ou Ė g . O termo Ė s a i é devido à convecção da superfície do resistor para o ar.

Passo 4

Na letra (b), queremos calcular a taxa de geração de calor volumétrica, q ˙ ( W / m 3 ) . Então, precisamos calcular o nosso volume:

V = π D 2 4 L

Do balanço de energia com o resistor sendo nosso volume de controle, temos:

Ė g = q ˙ V

Substituindo os valores,

144   W =   q ˙ π 0,06 m 2 4 × 0,25 m

Encontramos uma taxa de geração de calor volumétrica de:

q ˙ = 2,04 × 10 5   W / m 3

Passo 5

E por último, vamos à letra (c), em que queremos saber o coeficiente convectivo desprezando a radiação a partir do resistor.

Pelo balanço de energia no resistor e a Lei de Newton de resfriamento com a área superficial sendo:

A s = π D L + 2 π D 2 4

Temos,

Ė s a i = q = h A s ( T s - T ∞ )

144   W = h π × 0,06 m × 0,25 m + 2 π   0,06 2 m 2 4 95 - 25 ° C

144   W = h 0,0471 + 0,0057 m 2 95 - 25 ° C

h = 39,0 W m 2 . K

Resposta

  1. Volume de controle resistor:   E ˙ e n t r a = 0 , Ė s a i = 144   W ,   Ė g = 144   W   e   Ė a c u = 0
  2. Volume de controle bateria-resistor: E ˙ e n t r a = 0 , Ė s a i = 144   W ,   Ė g = 0   e   Ė a c u = - 144   W

  3. q ˙ = 2,04 × 10 5   W / m 3
  4. h = 39,0 W m 2 . K
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