Enunciado

Sabe-se que em noites limpas a temperatura do ar não precisa ser inferior a 0°C para que uma fina camada de água sobre o solo se congele. Considere uma dessas camadas de água sobre o solo em uma noite limpa, na qual a temperatura efetiva do céu é de −30°C e o coeficiente de transferência de calor por convecção, devido ao vento, é de h   =   25 W m 2 K . Pode-se considerar que a água possua uma emissividade igual a 1,0 e que esteja isolada do solo no que se refere à transferência de calor por condução.

  1. Desprezando a evaporação, determine a menor temperatura que o ar pode ter para que não haja congelamento da água.
  2. Para as condições dadas, estime o coeficiente de transferência de massa para a evaporação da água h m   m s .
  3. Levando em conta agora o efeito da evaporação, qual a menor temperatura que o ar pode ter para que não haja congelamento da água? Considere que o ar esteja seco.

Passo 1

Animados para mais uma beem legal ?!

Então vamos começar !!

Na letra (a) nós estamos desconsiderando a evaporação, portanto o solo recebe calor por convecção e perde por radiação:

q " c o n v - q " r a d = 0

Nós podemos abrir um pouquinho o calor, não é?

q " c o n v = h T ∞ - T s

q " r a d = ε σ T s 4 - T c e u 4

Substituindo:

h T ∞ - T s = ε σ T s 4 - T c e u 4

Isolando a temperatura do ambiente:

T ∞ = T s + ε σ T s 4 - T c e u 4 h

Lembrando que:

T s = 0 ° C + 273 = 273   K

T c é u = - 30 ° C + 273 = 24 3   K

  ε   =   1

σ = 5,67 × 10 - 8 W m 2 K 4

h   =   25 W m 2 K

E como um passe de mágica:

T ∞ = 0 ° C + 1 5,67 × 10 - 8 W m 2 K 4 273 4 - 243 4 K 4 25 W m 2 K

T ∞ = 4,69 ° C

Essa foi de boa, né?! Vamos er a letra (b)??

Passo 2

Na letra (b) nós queremos o coeficiente de transferencia de massa, ou seja, não estamos mais desprezando a perda de calor por evaporação.

Nós podemos usar aqui a relação entre os dois coeficientes de já estamos até carecas de saber:

h - h m - = ρ c p L e ( 1 - n )

Onde ρ é a densidade, c p o calor específico a pressão constante, L e o número de Lewis.

O número de Lewis também pode ser escrito como:

L e = α D A B

Onde α é a difusividade térmica e D A B a difusividade mássica!!

Para a maioria das aplicações n = 1 3 :

h - h m - = ρ c p α D A B 1 - 1 3

h m - = h - ρ c p α D A B 2 3

Na Tabela A.4 para nossa temperatura média de:

T - = 4,69 ° C + 0 ° C 2 = 2,5 ° C ≅ 276   K

Nós não temos os valores exatos, mas podemos interpolar:

ρ = 1 , 2734 k g m 3

c p = 100 6 J k g K

α = 19,3 × 10 - 6 m 2 s

E na Tabela A.8 para o vapor de água e o ar usando 298 K:

D A B = 0,26 × 10 - 4 m 2 s

Substituindo na fórmula para achar a correlação entre os coeficientes:

h m - = 25 W m 2 K 1,2734 k g m 3 1006 J k g K 19,3 × 10 - 6 m 2 s 0,26 × 10 - 4 m 2 s 2 3

h m - = 0,0238 m s  

Passo 3

Agora nós temos que considerar é a perda de calor por evaporação:

q " c o n v - q " e v a p - q " r a d = 0

Relembrando que:

q " e v a p = n A h f g = h m h f g ρ A ,   s - ρ A ,   ∞

Substituindo:

T ∞ = T s + h m h f g ρ A ,   s - ρ A ,   ∞ + ε σ T s 4 - T c e u 4 h

T ∞ = T s + ε σ T s 4 - T c e u 4 h + h m h f g ρ A ,   s - ρ A ,   ∞ h

O primeiro termo nós já achamos na letra (a):

T ∞ = T ∞ ,   a + h m h f g ρ A ,   s - ρ A ,   ∞ h

Obtendo os valores para a temperatura da superfície a 273,15 K, próximo a 0°C, na Tabela A.6:

ρ A ,   s = 4,847 × 10 - 3 k g m 3

h f g = 2502 k J k g

E assumindo que:

ρ A ,   ∞ = 0 k g m 3

Substituindo:

T ∞ = 4,69 ° C + 0,0238 m s 2502 × 10 3 J k g 4,847 × 10 - 3 k g m 3 25 W m K

T ∞ = 4,69 ° C + 11,5 ° C

T ∞ = 16,19 ° C

E achamos o que nós queríamos, certo??

Resposta

  1. T ∞ = 4,69 ° C ;
  2. h m - = 0,0238 m s ;
  3. T ∞ = 16,19 ° C .
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