Enunciado

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A seção de teste de um túnel de vento de laboratório é quadrada, com largura W 1 e altura H 1 de entrada iguais a 305   m m . Para uma velocidade de corrente livre U 1 = 24,5   m / s , medições mostram que a espessura da camada limite é δ 1 = 9,75   m m com um perfil de velocidade turbulento de potência 1 / 7 . O gradiente de pressão nesta região é dado aproximadamente por d p d x = - 0,035   m m   H 2 O / m m . Avalie a redução na área efetiva de escoamento causada pelas camadas limite no topo, fundo e paredes laterais do túnel na seção (1). Calcule a taxa de variação da espessura de quantidade de movimento da camada limite, d θ / d x , na seção (1). Estime a espessura de quantidade de movimento no final da seção de teste, localizada L = 254   m m a jusante.

Passo 1

Listinha do que a gente precisa fazer:

- Avaliar como a área de escoamento uniforme varia por causa do crescimento das camadas limite

- Calcular d θ d x

- Calcular θ L

Dados:

- Largura: W 1 = 0,305   m

- Altura: H 1 = 0,305   m

- Comprimento: L = 0,254   m

- Velocidade de corrente livre: U 1 = 24,5 m s

- Perfil de velocidade de potência 1 / 7 , escoamento turbulento:

u U = y δ

- Espessura da camada limite é δ 1 = 0,00975   m

- Gradiente de pressão: d p d x = - 0,035   m m   H 2 O / m m

- Vamos considerar ar-padrão: ρ = 1,21 k g / m 3 , μ = 1,81 ⋅ 10 - 5 N ⋅ s / m 2

Vamos começar!

Passo 2

Se a gente chamar de A 0 a área efetiva inicial e A 1 , a área na seção (1), e escrever um percentual de redução da área efetiva, teríamos isso:

A 1 - A 0 A 0

Mas a gente consegue escrever essas áreas em função de larguras e alturas, mas repara que na seção (1), temos camadas limite, logo:

A 0 = W 1 H 1

A 1 = ( W 1 - 2 δ 1 * ) ( H 1 - 2 δ 1 * )

A gente usa δ * quando o contexto é vazão e área de escoamento, belezinha?

O nosso percentual fica assim:

A 1 - A 0 A 0 = W 1 - 2 δ 1 * H 1 - 2 δ 1 * - W 1 H 1 W 1 H 1

Passo 3

Para achar δ 1 * , calculamos a integral:

δ * = ∫ 0 δ 1 - u U d y

Para:

u U = y δ 1 7

Isso dá:

δ * = δ 8

Sabendo que δ 1 = 9,75   m m :

δ 1 * = 1,219   m m

Substituindo isso e os dados do enunciado, o percentual fica:

A 1 - A 0 A 0 = W 1 - 2 δ 1 * H 1 - 2 δ 1 * - W 1 H 1 W 1 H 1

A 1 - A 0 A 0 = - 1,6 %

Passo 4

A gente pode calcular d θ d x pela equação integral da quantidade de movimento:

d θ d x = τ w ρ U 2 - H + 2 θ U d U d x  

Vamos calcular cada coisinha dessa:

Manipulando as expressões de cisalhamento e espessura da camada limite, para o nosso perfil de velocidade:

τ w 1 ρ U 1 2 = 0,0233   μ ρ   U 1 δ 1 1 4 = 0,002073

Pela definição, usando nosso perfil de velocidade:

θ 1 = ∫ 0 δ u U 1 - u U d y = 7 12 δ 1 = 0,00569   m

H = δ 1 * θ 1 = 1,7143

Passo 5

Para calcular d U d x , a gente precisa lembrar que por Bernoulli no nosso tubo:

p + ρ U 2 2 = c o n s t a n t e

Derivando os dois lados:

d p d x = - ρ U d U d x

Mas o enunciado disse que:

d p d x = - 0,035   m m   H 2 O / m m

Substituindo os dados do problema na nosso relação entre derivadas:

d U d x = 0,00118

Substituindo isso tudo na equação integral:

d θ d x = τ w ρ U 2 - H + 2 θ U d U d x

d θ d x = 0,002072   m / m

Conseguimos!

Passo 6

Podemos aproximar θ L , por essa expressão linear:

θ L = θ 1 + d θ d x L

θ L = 0,006214   m

Resposta

A 1 - A 0 A 0 = - 1,6 %

d θ d x = 0,002072   m / m

θ L = 0,006214   m

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