Enunciado

Ar escoa em um duto cilíndrico de diâmetro D = 150   m m . Na seção (1), a camada limite turbulenta tem espessura δ 1 = 10   m m e a velocidade na região central invíscida é U 1 = 25   m / s . Mais a jusante, na seção (2), a camada limite tem espessura δ 2 = 30   m m . O perfil de velocidade na camada limite é bem aproximado por uma expressão de potência 1 / 7 . Determine a velocidade, U 2 , na região central não-viscosa da segunda seção, e a queda de pressão entre as duas seções. A magnitude da queda de pressão calculada justifica a hipótese adotada de gradiente de pressão zero entre as seções (1) e (2)? Estime a distância a jusante da seção (1) na qual a espessura da camada limite é de δ = 20   m m . Considere ar-padrão.

Passo 1

Vamos listar o que a gente precisa fazer:

- Calcular U 2

- Precisamos avaliar a variação de pressão: p 2 - p 1

- Estimar a distância entre (1) e o local de camada limite δ = 20   m m

E enunciado dá umas informações para gente:

- velocidade de corrente livre: U 1 = 25   m / s

- ar-padrão: ρ = 1,21 k g / m 3 e μ = 1,81 ⋅ 10 - 5 N ⋅ s / m

- diâmetro: D = 150   m m

- expessuras da camada limite: δ 1 = 10   m m ,   δ 2 = 30   m m

- escoamento turbulento de potência 1 / 7 :

u U = y δ 1 7

Vamos começar!

Passo 2

Usando a conservação de massa:

ρ A 1 U 1 = ρ A 2 U 2

Só que essas áreas são as regiões da seção onde consideramos a velocidade uniforme, isso não acontece dentro das camadas limites. Então, podemos reescrever:

A 1 = π 4 D - 2 δ 1 * 2 ,             A 2 = π 4 D - 2 δ 2 * 2

Se liga que a gente usou δ * porque estamos no contexto de vazão.

Voltando a conservação:

ρ A 1 U 1 = ρ A 2 U 2

D - 2 δ 1 * 2 U 1 = D - 2 δ 2 * 2 U 2

Isolando U 2 :

U 2 = U 1 D - 2 δ 1 * 2 D - 2 δ 2 * 2  

Passo 3

Usando a definição de δ * para esse perfil de velocidade:

δ * = ∫ 0 δ 1 - u U d y

u U = y δ 1 7

Vemos que:

δ * = δ 8

Substituindo isso na nossa expressão:

U 2 = U 1 D - 2 δ 1   8 2 D - 2 δ 2 8 2  

Usando os dados do problema:

U 2 = 26,78   m / s

Passo 4

Podemos aplicar a equação nesse problema porque assumimos um fluído em escoamento permanente, incompressível, que apenas sofre atrito dentro das camadas limite. Sendo assim, podemos aplicar a equação na região fora das camadas.

Essa é a carinha da equação de Bernoulli:

p 1 ρ + V 1 2 2 + g z 1 = p 2 ρ + V 2 2 2 + g z 2

As alturas são iguais, então a gente tem que:

p 1 ρ + U 1 2 2 = p 2 ρ + U 2 2 2 ∴ p 2 - p 1 = ρ U 1 2 2 - U 2 2 2

Mas gente viu que:

U 2 = 26,78   m / s  

Então a gente só precisa substituir os dados do problema:

p 2 - p 1 = - 55,92   P a

Essa variação equivale a apenas 0,05 % da pressão atmosférica, além disso, ela causou uma variação de 7 % na velocidade. Por isso considerar essa variação de pressão como zero é uma hipótese válida.

Passo 5

Para estimar o comprimento entre (1) e o x onde δ = 20   m m , a gente pode estimar o comprimento equivalente da placa plana equivalente para chegar δ 1 e a δ , e depois fazer a diferença entre eles.

δ x = 0,382 R e x 1 5

Fazendo x = L 1 e isolando L 1 :

L 1 = δ 1 0,382 5 4 U 1 ρ μ 1 4 = 0,379   m

Como a gente viu que a hipótese de variação de pressão igual a zero é válida, podemos aproximar a velocidade para δ = 20   m m como U 1 também.

L δ = 20 m m = δ 0,382 5 4 U 1 ρ μ 1 4 = 0,900 m

L 1 - δ = 20 m m = L 2 - L 1 = 0,521   m

Resposta

U 2 = 26,78   m / s

p 2 - p 1 = - 55,92   P a

L 1 - 2 = 0,231   m

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