Enunciado

Seja o escoamento laminar, plenamente desenvolvido, em um canal com temperatura superficial constante Ts. Para uma certa vazão mássica e comprimento do duto especificado, determine qual canal retangular, b a   =   1,0 ;   1,43 ;   o u   2,0 ; irá fornecer a maior taxa de transferência de calor. Esta taxa de transferência de calor é maior, igual ou menor do que a taxa de transferência de calor associada a um tudo circular?

Passo 1

Bom galerinha, nós queremos achar a taxa de transferência de calor, certo?

Para isso nós podemos usar a relação:

q = m ˙ c p T m ,   s a i - T m ,   e n t

O termo m ˙ c p será constante porque independe das dimensões do duto, então a única coisa que precisamos obter para casa caso será T m ,   s a i - T m ,   e n t .

Quando a temperatura da superfície é constante podemos usar a relação mostrada na Equação 8.42b:

T m ,   s a i - T m ,   e n t = T s - T m ,   e n t 1 - e - h P L m ˙ c p

Percebem que quanto maior o termo T m ,   s a i - T m ,   e n t maior a troca de calor ?

Então beleza !!

NA equação da variação da temperatura a única parcela que altera a depender da geometria do duto é h P L m ˙ c p .

Então vamos analisa-lo!!

Se lembramos que:

N u = h D h k = 4 h A c k P

Vamos isolar o nosso h em função do perímetro e da área:

h = N u . k P 4 A c

Substituindo no termo:

N u . k P 2 L 4 A c m ˙ c p

Substituindo:

P = 2 a + b

A c = a b

Então:

N u . k L 4 m ˙ c p . 4 a + b 2 a b

Arrumando em função de b a :

N u . k L m ˙ c p . 1 + b a 2 b a

Quando b a = 1 :

N u . k L m ˙ c p . 1 + b a 2 b a = N u . k L m ˙ c p . 4

Quando b a = 1,43 :

N u . k L m ˙ c p . 1 + b a 2 b a = N u . k L m ˙ c p . 4,13

Quando b a = 2 :

N u . k L m ˙ c p . 1 + b a 2 b a = N u . k L m ˙ c p . 4 , 5

Então vamos analisar, quanto maior o termo h P L m ˙ c p menor será o termo e - h P L m ˙ c p !! E se esse termo é menor, maior será a diferença de temperatura e, portanto maior a taxa de transferência de calor:

q 2 > q 1,43 > q 1

Então, quando b a = 2 a taxa de transferência de calor será maior !!

Passo 2

As e com relação ao duto circular?

Faremos a mesma coisa, mas aqui:

P = π D

A c = π D 2 4

Então:

N u . k L 4 m ˙ c p . 4 π D 2 π D 2 = N u . k L m ˙ c p . π = N u . k L m ˙ c p . 3,14

Portanto,

N u . k L m ˙ c p . 3,14 < N u . k L m ˙ c p . 4,5

Ou melhor:

q 2 > q c i r c u l a r

Sendo assim, a troca de transferência de calor para b a = 2 é maior para todos os casos !!

Essa foi de boassa, não foi?

Resposta

b a = 2

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