Enunciado

Um trocador de calor de paredes duplas é usado para transferir calor entre líquidos que escoam através de tubos de cobre semicirculares. Cada tubo tem uma parede com espessura t   =   3   m m e raio interno r i   =   20   m m , sendo mantido um bom contato entre as duas superfícies planas pela presença de cintas firmemente apertadas. As superfícies externas dos tubos encontram-se isoladas termicamente.

  1. Se água quente e água fria a temperaturas médias de T q , m   =   330   K e T f , m     = 290   K escoam pelos tubos adjacentes com m q ˙   = m f ˙ =   0,2 k g s , qual é a taxa de transferência de calor por unidade de comprimento do tubo? A resistência térmica de contato entre as paredes é de 10 - 5 m 2 K W . Aproxime as propriedades tanto da água quente quanto da água fria por μ =   800   ×   10 – 6 k g s m , k   =   0,625 W m K e Pr = 5,35. Sugestão: A transferência de calor é intensificada pela condução através das porções semicirculares das paredes dos tubos e cada porção pode ser subdividida em duas aletas planas com extremidades adiabáticas.
  2. Usando o modelo térmico desenvolvido para a parte (a), determine a taxa de transferência de calor por unidade de comprimento quando os fluidos forem o etilenoglicol. Também, qual será o efeito sobre a taxa de transferência de calor ao se fabricar o trocador com uma liga de alumínio? O aumento da espessura das paredes dos tubos trará um efeito favorável?

Passo 1

Essa é daquelas de acabar com o pequi de Goiás ein galera !!

Mas com calma nós venceremos !!

A transferência de calor entre dois fluidos pode ser escrita em função da resitencia à transferência de calor, certo?

Vamos ver como:

q = T m ,   q - T m ,   f R t o t a l

Vamos fazer uma análise do que está acontecendo aqui para poder descobrir a resistência total:

Então a situação será a seguinte:

R t o t a l = 2 R e q + R c o n d + R t , c

Onde a resistência equivalente nós vamos expressar como a resistência a receber o calor da aleta e a convectiva do fluido:

R e q = 1 R a l e t a + 1 R c o n v - 1

Para achar as resistências convectivas nós precisamos dos coeficientes convectivos, mas como?

O primeiro passo é o Reynolds e descobrir como é o escoamento:

R e D = ρ u m D h μ = m ˙ D h μ A c

Nós não temos o diâmetro hidráulico, mas ele pode ser escrito como:

D h = 4 A c P

Colocando em Reynolds:

R e D = 4 m ˙ A c μ A c P = 4 m ˙ μ P

Lembrando que o perímetro nestes casos é dado por:

P = 2 r i + π r i

A c = π r i 2

Então:

R e D = 4 m ˙ A c μ A c P = 4 m ˙ μ ( 2 r i + π r i )

Quando assumimos que a temperatura de saída será próxima de 300 K olhamos na Tabela A.4 para a água:

k = 0,625 W m K

P r = 5,37

μ = 800 × 10 - 6   N s m 2

E na Tabela A.1 para o cobre:

k = 400 W m K

Agora nós conseguimos achar Reynolds:

R e D = 4 0,2 k g s 800 × 10 - 6   N s m 2 ( 2 × 0,02   m + π × 0,02   m ) = 9724,613

Como Reynolds é maior que 2300 o fluxo é turbulento!!

Passo 2

Como descobrimos que o fluxo é turbulento podemos usar a correlação de Dittus – Boelter para o resfriamento:

N u D = 0,023 . R e D 0,8 P r 0,4

Lembrando que:

N u D = h D h k

E substituindo:

h D h k = 0,023 . R e D 0,8 P r 0,4

h = 0,023 . k D h . R e D 0,8 P r 0,4

h = 0,023 . k P 4 A c . R e D 0,8 P r 0,4

Substituindo a área e o perímetro:

h = 0,023 . k r i ( 2 + π ) 4 π r i 2 . R e D 0,8 P r 0,4

h = 0,023 . k ( 2 + π ) 4 π r i . R e D 0,8 P r 0,4

Lançando nossos dados:

h = 0,023 . 0,625 W m K ( 2 + π ) 4 π 0,02   m . 9724,613 0,8 5,35 0,4

h = 1596,98 W m 2 K

Com isso nós conseguimos calcular as resistências convectivas, dadas por:

R c o n v = 1 2 r i h L

Como queremos analisar o calor por 1 m de comprimento:

R c o n v = 1 2 0,02   m 1596,98 W m 2 K 1   m = 0,01566 m K W

Passo 3

A próxima resistência que vamos achar é a da aleta:

R a l e t a = θ b q a l e t a

Se:

q a l e t a = h P k A c θ b . tanh ⁡ L h P k A c

Substituindo:

R a l e t a = 1 h P k A c . tanh ⁡ L k P k A c

Para estas condições nós podemos aproximar o perímetro da superfície da aleta por:

P ≅ 2 m

E a sua área:

A c = 2 t × 1 m = 2 0,003   m × 1 m = 0,00 6   m 2

Onde t é a espessura, ok?

O comprimento da aleta pode ser aproximado pela equação:

L = π r i 2 = π 0,02   m 2 = 0,03142   m

Agora vamos colocar nossos dados na fórmula:

R a l e t a = 1 1596,98 W m 2 K 2   m 400 W m K 0,006   m 2 . tanh ⁡ 0,03142   m 1596,98 W m 2 K 2   m 400 W m K 0,006   m 2

R a l e t a = 0,01 2 9 W m K

Passo 4

Agora nós vamos achar a resistência condutiva:

R c o n d = t 2 k r i = 0,003   m 2 400 W m K 0,02   m

R c o n d = 1,875 × 10 - 4 m K W    

A última resistência é a de contato:

R t , c = R " t , c 2 r i

O problema nos disse que:

R " t , c = 10 - 5 m 2 K W

Então:

R t , c = 10 - 5 m 2 K W 2 0,02   m

R t , c = 2,5 × 10 - 4 m K W

Shooow !! Agora vamos calcular a resistência total, mas antes a equivalente, certo?

R e q = 1 0,01 4 W m K + 1 0,01 29 m K W - 1

R e q = 6,7 × 10 - 3 m K W

Agora sim a total:

R t o t a l = 2 6,7 × 10 - 3 m K W + 1,875 × 10 - 4 m K W + 2,5 × 10 - 4 m K W

R t o t a l = 0,014 m K W

E com isso achar a troca de calor ficou molezinha !!

q = 330   K - 290   K 0,014 m K W

q = 2 850 W m

Ufaaaa !! Mas ainda não acabamos, não é?

Passo 5

A letra (b) pede para fazermos a mesma coisa e analisarmos três situações diferentes: usando etilenoglicol, quando o trocador é de liga de alumínio e quando a espessura das paredes dos tubos é maior!

C a s o   1 : Á g u a   e   C o b r e   400 W m K ,   t = 3   m m

C a s o   2 : E t i l e n o   G l i c o l   e   C o b r e   400 W m K ,   t = 3   m m

C a s o   3 : Á g u a   e   A l u m í n i o   117 W m K ,   t = 3   m m

C a s o   1 : Á g u a   e   C o b r e   400 W m K ,   t = 4   m m

Faremos tudo isso de novo, mas agora que vocês já sabem como fazer eu vou lançar todas estas fórmulas no software IHT e achar o calor para cada um destes casos:

Tabelinha bem prática que resume tudo que precisávamos fazer !!

E agora sim, acabamooos !!

Resposta

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