Enunciado

As a simpler approach to Prob. P3.96, apply the unsteady

Bernoulli equation between 1 and 2 to derive a differential

equation for the motion z(t). Neglect friction and compressibility.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Suponha a coluna líquida, assumida sem atrito, oscile em simples movimento harmônico. Escreva a relação instável de Bernoulli para a linha de fluxo.

∫ 0 L   ∂ V ∂ t d s + p 2 - p 1 ρ + 1 2 V 2 2 - V 1 2 + g z 2 - z 1 = 0

Aqui, p 2 é a pressão de saída, p 1 é a pressão de entrada, V 2 é a velocidade de saída, V 1 é a velocidade de entrada, z 2 é o dado na saída, z 1 é o dado na entrada, g é a aceleração devido à gravidade, L é o comprimento do tubo e ρ é a densidade.

Passo 2

As velocidades e a pressão são as mesmas na saída e na entrada.

  ∫ 0 L     ∂ V ∂ t d s + 0 ρ + 1 2 ( 0 ) + g ( z + z ) = 0 L ∂ V ∂ t + g ( 2 z ) = 0

Velocidade é a taxa de mudança de distância.

L ∂ ∂ z ∂ t ∂ t + g ( 2 z ) = 0 ∂ 2 z ∂ t 2 + 2 g z L = 0

Assim, a equação diferencial final é ∂ 2 z ∂ t 2 + 2 g z L = 0 .

Resposta

∂ 2 z ∂ t 2 + 2 g z L = 0

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