Enunciado

Um líquido de massa específica ρ escoa através da contração brusca da figura abaixo e sai para a atmosfera. Considere condições uniformes ( ρ 1 , V 1 , D 1 ) na seção 1 e ( ρ 2 ,   V 2 ,   D 2 ) na seção 2. Encontre uma expressão para a força exercida pelo fluido sobre a contração.

Passo 1

Vamos juntos encarar mais um capítulo da série “mecflu e seus desafios?” Vem comigo!!

Primeiro, vamos entender o problema. Como estamos saindo para um local com pressão atmosférica, temos que a pressão no ponto 2 é igual a atmosférica. Se subtrairmos a pressão atmosférica em todos os lados do nosso VC, vamos observar que as pressões atmosféricas se cancelam no eixo y e que a única pressão não nula será na seção 1, p = p 1 - p a t m .

Ou seja, ao analisarmos vemos que temos uma força F contrapondo uma força de pressão Fp=pA. Além disso essa diferença de forças deve ser igual a diferença de força exercida pelo escoamento nas duas regiões.

∑ F x = F - p 1 - p a A 1 = m ˙ 2 u 2 - m ˙ 1 u 1

Sabemos que independente da mudança de área transversal, a vazão mássica se mantém!

m ˙ 2 = m ˙ 1 = ρ 1 A 1 V 1

Porém o diferencial é que u 2 = - V 2 e u 1 = - V 1 uma vez que temos seções transversais de escoamento diferentes, suas velocidades de escoamento também serão diferentes.

F = p 1 - p a A 1 + ρ 1 A 1 V 1 V 1 - V 2

Passo 2

Agora que temos V 1 e V 2 precisamos identificar qual é a relação entre essas duas velocidades a partir do balanço de massa!!

Q 1 = Q 2

π 4 D 1 2 V 1 2 = π 4 D 2 2 V 2 → V 2 = V 1 D 1 2 D 2 2

Passo 3

Substituindo dentro do nosso balanço de forças:

F = p 1 - p a A 1 - ρ 1 A 1 V 1 2 D 1 D 2 2 - 1

Lembrando que A 1 = π 4 D 1 2

Resposta

F = p 1 - p a A 1 - ρ 1 A 1 V 1 2 D 1 D 2 2 - 1

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