Enunciado

A superfície superior ( 0,5   m × 0,5   m ) de um forno está a 60 ° C em uma condição de operação particular, quando o ar da sala encontra-se a 23 ° C . Para reduzir a perda de calor do forno e minimizar o perigo de queimaduras, propõe-se criar, com a adição de uma placa de cobertura, um espaço de ar com 50   m m de espessura.

(a) Admitindo a mesma temperatura superficial do forno Ts para ambas as situações, estime a redução na perda de calor por convecção resultante da instalação da placa de cobertura. Qual é a temperatura da placa de cobertura?

Passo 1

Temos um forno de temperatura superficial T s = 60 ° C exposto ao ar ambiente a T ∞ = 23 ° C . Foi adicionada uma placa, contendo ar no interior, na superfície do forno para reduzir a perda de calor. Devemos determinar qual é a redução na perda de calor devido à adição da placa e qual será a temperatura na superfície da placa. Vamos lá?

Para começar iremos calcular qual era a taxa de transferência de calor para o caso do forno estar exposto ao ar ambiente. Para isso, vamos começar determinando a temperatura média do ar e suas propriedades nesta temperatura. A temperatura média para este caso é:

T - m = T s + T ∞ 2

T - m = 60 + 23 2

T - m = 41,5 ° C = 314,5   K

As propriedades do ar nesta temperatura são:

ρ = 1,1131   k g / m 3

c p = 1007,6   J / k g K

ϑ = 17,35 × 10 - 6   m 2 / s

k = 27,4 × 10 - 3   W / m K

P r = 0,705

Passo 2

Agora que temos as propriedades podemos calcular o número de Rayleigh:

R a L = g β ∆ T L 3 k ρ c p × ϑ

Em que para uma placa horizontal:

L = A s P

L = 0,5 × 0,5 4 × 0,5 = 0,125   m

Então,

R a L = 9,81 × 1 T - m × T s - T ∞ × 0,125 3 27,4 × 10 - 3 1,1131 × 1007,6 × 17,35 × 10 - 6

R a L = 9,81 × 1 314,5 × 60 - 23 × 0,125 3 27,4 × 10 - 3 1,1131 × 1007,6 × 17,35 × 10 - 6

R a L = 5,318 × 10 6

A correlação de Nusselt para uma placa plana com superfície superior aquecida é:

N u - L = h - L k = 0,54 R a L 1 4

h - = k L × 0,54 R a L 1 4

h - = 27,4 × 10 - 3 0,125 × 0,54 × 5,318 × 10 6 1 4

h - = 5,684   W / m 2 K

A partir do coeficiente podemos calcular a taxa de transferência de calor por convecção na primeira situação:

q = h - A T s - T ∞

q = 5,684 × 0,5 × 0,5 × 60 - 23

q = 52,6   W

Passo 3

Vamos agora determinar qual será a taxa de transferência de calor quando adicionamos a placa de ar. Considerando que não haverá perda ou acúmulo de energia no sistema, a energia transferida do forno para a placa deve ser igual à energia transferida da placa para o ar externo. Então:

q = h - i A T s - T i n t = h - e A ( T i n t - T ∞ )

Porém, como podemos ver pela equação a taxa de transferência de calor depende da temperatura da interface placa-ar ambiente T i n t . Além disso, para obter os coeficientes convectivos também precisaremos desta temperatura.

Para contornar este problema vamos estimar um valor de T i n t e usá-lo para encontrar os coeficientes e as taxas de transferência. Se estimarmos um valor próximo do real, devemos verificar que a equação:

h - i A T s - T i n t = h - e A ( T i n t - T ∞ )

Será válida. Caso contrário, teremos valores de taxas diferentes nos dois lados da equação, o que mostra que não estimamos um bom valor para T i n t , devendo então estimar um novo valor e repetir o procedimento. Vamos lá?

Passo 4

Vamos estimar que T i n t = 35 ° C . Então, a temperatura média do ar externo será:

T - m , e = T ∞ + T i n t 2

T - m , e = 23 + 35 2

T - m , e = 29 ° C = 302   K

As propriedades do ar nesta temperatura são (Tabela A-4, apêndice A):

ρ = 1,1547   k g / m 3

c p = 1007,1   J / k g K

ϑ = 16,09 × 10 - 6   m 2 / s

k = 26,4 × 10 - 3   W / m K

P r = 0,707

O próximo passo será calcular o número de Rayleigh:

R a L = g β ∆ T L 3 k ρ c p × ϑ

R a L = 9,81 × 1 T - m , e × T i n t - T ∞ × 0,125 3 26,4 × 10 - 3 1,1547 × 1007,1 × 16,09 × 10 - 6

R a L = 9,81 × 1 302 × 35 - 23 × 0,125 3 26,4 × 10 - 3 1,1547 × 1007,1 × 16,09 × 10 - 6

R a L = 2,084 × 10 6

A correlação de Nusselt é:

N u - L = h - e L k = 0,54 R a L 1 4

h - e = k L × 0,54 R a L 1 4

h - e = 26 , 4 × 10 - 3 0,125 × 0,54 × 2,084 × 10 6 1 4

h - e = 4,333   W / m 2 K

A partir do coeficiente convectivo iremos calcular a taxa de transferência de calor por convecção entre a superfície da placa e o ambiente:

q = h - e A T i n t - T ∞

q = 4,333 × 0,5 × 0,5 × 35 - 23

q = 13   W

Passo 5

Iremos agora calcular a taxa de transferência de calor através da placa contendo ar. Começamos pela temperatura média do ar contido na placa:

T - m ,   i = T s + T i n t 2

T - m ,   i = 60 + 35 2

T - m ,   i = 47,5 ° C = 320,5   K

Para esta temperatura as propriedades do ar são (Tabela A-4, apêndice A):

ρ = 1,0932   k g / m 3

c p = 1007,8   J / k g K

ϑ = 17,93 × 10 - 6   m 2 / s

k = 27,8 × 10 - 3   W / m K

P r = 0,70 4

O número de Rayleigh para um espaço confinado entre duas placas paralelas é:

R a L = g β ∆ T L 3 k ρ c p × ϑ

Sendo que desta vez, L é a distância entre as placas. Ou seja, L = 50 × 10 - 3   m .

R a L = 9,81 × 1 T - m ,   i × ( T s - T i n t ) × 50 × 10 - 3 3 27,8 × 10 - 3 1,0932 × 1007,8 × 17,93 × 10 - 6

R a L = 9,81 × 1 320,5 × ( 60 - 35 ) × 50 × 10 - 3 3 27,8 × 10 - 3 1,0932 × 1007,8 × 17,93 × 10 - 6

R a L = 2,114 × 10 5

A correlação para o número de Nusselt em um espaço confinado entre duas placas paralelas é:

N u - L = h - i L k = 0,069 R a L 1 3 P r 0,074

h - i = k L × 0,069 R a L 1 3 P r 0,074

h - i = 27,8 × 10 - 3 50 × 10 - 3 × 0,069 × 2,114 × 10 5 1 3 × 0,704 0,074

h - i = 2,227   W / m 2 K

Então, a taxa de transferência de calor é:

q = h - i A ( T s - T i n t )

q = 2,227 × 0,5 × 0,5 × 60 - 35 = 13,9   W

Como encontramos taxas de transferência de calor similares podemos assumir que:

T i n t ≈ 35 ° C

Passo 6

Para finalizar precisamos calcular qual foi a redução na taxa de transferência de calor após a adição da placa.

Vamos considerar para os cálculos uma média entre os valores de q que encontramos para a situação em que a placa é inserida. Ou seja, vamos considerar q 2 = 13,5   W .

A redução percentual é dada por:

% R e d = q 1 - q 2 q 1 × 100 %

% R e d = 52,6 - 13,5 52,6 × 100 % = 74 %

Então, com a adição da placa a perda de energia foi reduzida em 74 % .

Resposta

(a) T i n t = 35 ° C ; a redução na perda de calor por convecção foi de 74 % .

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