Enunciado

Uma janela de vidro duplo, vertical, que tem 1   m de lado e um espaço de 25   m m preenchido com ar atmosférico, separa o ar quiescente de uma sala a T ∞ ,   i = 20 ° C do ar ambiente externo, também quiescente, a T ∞ ,   e = 220 ° C . As trocas radiantes entre as lâminas de vidro, assim como entre as lâminas de vidro e os seus ambientes adjacentes, podem ser desprezadas.

(a) Desprezando a resistência térmica associada à transferência de calor por condução através de cada lâmina de vidro, determine a temperatura correspondente de cada lâmina e a taxa de transferência de calor através da janela.

(b) Comente sobre a validade de se desprezar a resistência condutiva nas lâminas de vidro, se cada uma tiver uma espessura de L v = 6   m m .

Passo 1

Nossa situação é a seguinte: temos uma janela de vidro, com ar no espaçamento. A janela está entre os ambientes externo T ∞ ,   e = 220 ° C e interno T ∞ ,   i = 20 ° C de uma sala. Para estas condições devemos determinar as temperaturas das superfícies de cada lâmina de vidro e a taxa de transferência de calor que atravessa a janela. Vamos lá?

Como primeiro passo vamos considerar que só ocorre transferência de calor por convecção natural. Além disso, não ocorrem perdas de calor entre a passagem de energia da janela para os ambientes e vice-versa. Então:

q = q c o n v

q = h - i A T s , 1 - T ∞ , i = h - j A T s , 2 - T s , 1 = h - e A T ∞ , i - T s , 2

h - i T s , 1 - T ∞ , i = h - j T s , 2 - T s , 1 = h - e T ∞ , i - T s , 2

Então, precisaremos determinar os coeficientes convectivos antes de calcular a taxa de transferência e as temperaturas.

Porém, os coeficientes de convecção natural dependem da temperatura. O que vamos fazer para contornar este problema é estimar as temperaturas superficiais, calcular os coeficientes convectivos e, verificar se a relação:

h - i T s , 1 - T ∞ , i = h - j T s , 2 - T s , 1 = h - e T ∞ , e - T s , 2

É atendida. Caso os valores de cada termo sejam muito diferentes significa que estimamos mal os valores de temperatura. Então, deveremos estimar novos valores e tentar novamente. Vamos lá?

Passo 2

Vamos começar dizendo que T s , 1 = 69 ° C e T s , 2 = 162 ° C . A temperatura média no ambiente interno será:

T - m ,   i n t = T s , 1 + T ∞ , i 2

T - m ,   i n t = 69 + 20 2

T - m ,   i n t = 44,5 ° C = 317,5   K

As propriedades do ar nesta temperatura são (Tabela A-4, apêndice A):

ρ i n t = 1,1032   k g / m 3

c p i n t = 1007,7   J / k g K

ϑ i n t = 17,65 × 10 - 6   m 2 / s

k i n t = 27,6 × 10 - 3   W / m K

P r i n t = 0,705

A partir das propriedades vamos calcular o coeficiente convectivo do ambiente interno. Para isso, o nosso próximo passo será obter o número de Rayleigh:

R a H = g β ∆ T H 3 k ρ c p × ϑ

R a H = 9,81 × 1 T - m ,   i n t × T s , 1 - T ∞ , i × 1 3 27,6 × 10 - 3 1,1032 × 1007,7 × 17,65 × 10 - 6

R a H = 9,81 × 1 317,5   × 69 - 20 × 1 3 27,6 × 10 - 3 1,1032 × 1007,7 × 17,65 × 10 - 6

R a H = 3,455 × 10 9

Vamos agora aplicar a correlação de Nusselt para escoamento sobre placa plana:

N u - H = h - i H k i n t = 0,825 + 0,387 R a H 1 6 1 + 0,492 P r 9 16 8 27 2

h - i = k i n t H × 0,825 + 0,387 R a H 1 6 1 + 0,492 P r 9 16 8 27 2

h - i = 27,6 × 10 - 3 1 × 0,825 + 0,387 × 3,455 × 10 9 1 6 1 + 0,492 0,705 9 16 8 27 2

h - i = 4,98   W / m 2 K

Para finalizar o fluxo de calor por convecção natural é:

q ' ' = h - i T s , 1 - T ∞ , i

q ' ' = 4,98 × 69 - 20 = 244   W / m 2

Vamos calcular os demais fluxos e verificar se encontramos valores próximos a esse. Se encontrarmos significa que nossas estimativas de temperaturas superficiais é próxima ao real.

Passo 3

Nosso próximo passo é calcular o coeficiente convectivo externo. Para isso, começamos calculando a temperatura média do ar no ambiente externo:

T - m ,   e x t = T ∞ , e + T s , 2 2

T - m ,   e x t = 220 + 162 2

T - m ,   e x t = 191 ° C = 464   K

As propriedades do ar serão (Tabela A-4, apêndice A):

ρ e x t = 0,7523   k g / m 3

c p e x t = 1023,5   J / k g K

ϑ e x t = 34,95 × 10 - 6   m 2 / s

k e x t = 38,3 × 10 - 3   W / m K

P r e x t = 0,685

Com as propriedades podemos calcular o número de Rayleigh:

R a H = g β ∆ T H 3 k ρ c p × ϑ

R a H = 9,81 × 1 T - m ,   e x t × T ∞ , e - T s , 2 × 1 3 38,3 × 10 - 3 0,7523 × 1023,5 × 34,95 × 10 - 6

R a H = 9,81 × 1 464 × 220 - 162 × 1 3 38,3 × 10 - 3 0,7523 × 1023,5 × 34,95 × 10 - 6

R a H = 7,054 × 10 8

Vamos agora aplicar a correlação de Nusselt para escoamento sobre placa plana:

N u - H = h - e H k e x t = 0,825 + 0,387 R a H 1 6 1 + 0,492 P r 9 16 8 27 2

h - e = k e x t H × 0,825 + 0,387 R a H 1 6 1 + 0,492 P r 9 16 8 27 2

h - e = 38,3 × 10 - 3 1 × 0,825 + 0,387 × 7,054 × 10 8 1 6 1 + 0,492 0,68 5 9 16 8 27 2

h - e = 4,205   W / m 2 K

Para finalizar o fluxo de calor por convecção natural é:

q ' ' = h - e T ∞ , e - T s , 2

q ' ' = 4,205 × 220 - 162 = 24 3,9   W / m 2

Como podemos ver, chegamos em um valor próximo ao que calculamos para o ambiente interno. O último passo para garantir que estimamos um bom valor para as temperaturas superficiais será obter o fluxo de calor no espaçamento da janela.

Passo 4

Assim como nos passos anteriores começaremos calculando a temperatura média no espaçamento. Ela é dada por:

T - m ,   j = T s , 2 + T s , 1 2

T - m ,   j = 162 + 69 2

T - m ,   j = 115,5 ° C = 388,5   K

De acordo com a tabela A-4 do apêndice A, para esta temperatura:

ρ j = 0,8996   k g / m 3

c p j = 1012,9   J / k g K

ϑ j = 25,15 × 10 - 6   m 2 / s

k j = 32,9 × 10 - 3   W / m K

P r j = 0,692

O próximo passo é calcular o número de Rayleigh para o ambiente entre as janelas:

R a L = g β ∆ T L 3 k ρ c p × ϑ

R a L = 9,81 × 1 T - m ,   j × T s , 2 - T s , 1 × 25 × 10 - 3 3 32,9 × 10 - 3 0,8996 × 1012,9 × 25,15 × 10 - 6

R a L = 9,81 × 1 388,5 × 162 - 69 × 25 × 10 - 3 3 32,9 × 10 - 3 0,8996 × 1012,9 × 25,15 × 10 - 6

R a L = 40404,6

A correlação para o número de Nusselt em ambientes confinados é:

N u - L = h - j L k j = 0,42 R a L 1 4 P r 0,012 H L - 0,3

h - j = k j L × 0,42 R a L 1 4 P r 0,012 H L - 0,3

h - j = 32,9 × 10 - 3 25 × 10 - 3 × 0,42 × 40404,6 1 4 × 0,692 0,012 × 1 25 × 10 - 3 - 0,3

h - j = 2,58   W / m 2 K

E o fluxo de transferência de calor por convecção é:

q ' ' = h - j T s , 2 - T s , 1

q ' ' = 2,58 × 162 - 69 = 239,9   W / m 2

q = q ' ' A = 239,9 × H 2 = 239,9   W

Logo, como encontramos três valores de fluxo que são bem próximos podemos dizer que as temperaturas superficiais das placas são:

T s , 1 ≈ 69 ° C

T s , 2 ≈ 162 ° C

Passo 5

Vamos agora para o item (b). Neste item devemos verificar se a resistência condutiva poderia ser desprezada.

Para isso, iremos começar usando os valores dos coeficientes convectivos do item (a) para calcular as resistências convectivas. A resistência térmica de convecção é dada por:

R c o n v = 1 h A

Então:

R c o n v ,   i n t = 1 h - i A

R c o n v ,   i n t = 1 4,98 × H 2 = 0,2   m 2 K / W

R c o n v ,   e x t = 1 h - e A

R c o n v ,   e x t = 1 4,205 × H 2 = 0,238   m 2 K / W

R c o n v ,   j = 1 h - j A

R c o n v ,   j = 1 2,58 × H 2 = 0,388   m 2 K / W

Agora que temos ideia da ordem de grandeza das resistências convectivas vamos verificar qual é a resistência condutiva. O primeiro passo é obter a condutividade térmica do vidro. Pela tabela A-3 do apêndice A, k v i d r o = 1,4   W / m K .

A resistência condutiva é:

R c o n d = L k A

R c o n d = 2 × L v k v i d r o H 2

R c o n d = 2 × 6 × 10 - 3 1,4 × 1 2 = 0,00857   m 2 K / W

Como podemos a resistência condutiva possui um valor bem inferior ao das resistências de convecção. Então, é razoável a consideração de que podemos desprezar a resistência condutiva nos cálculos.

Resposta

(a) T s , 1 = 69 ° C ; T s , 2 = 162 ° C ; e q = 240   W .

(b) A resistência condutiva é muito pequena comparada com as demais resistências, então é válido desprezar seu valor nos cálculos do item (a).

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