Enunciado

Suppose we know little about the strength of materials but

are told that the bending stress σ in a beam is proportional

to the beam half-thickness y and also depends on the

bending moment M and the beam area moment of inertia

I. We also learn that, for the particular case M 5 2900

in ∙ lbf, y 5 1.5 in, and I 5 0.4 in4, the predicted stress

is 75 MPa. Using this information and dimensional reasoning only, fi nd, to three significant figures, the only

possible dimensionally homogeneous formula σ 5

y f(M, I ).

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Os dados são os seguintes:

Tensão de flexão: σ = 75   M P a = 75 ⋅ 10 6   N / m 2

Metade da espessura da barra: y = 1,5   i n = 0,0381   m

Momento de flexão: M = 2900   l b f ⋅ i n = 327,66   N ⋅ m

Momento de inércia: I = 0,4   i n 4 = 1,665 ⋅ 10 - 7   m 4

Passo 2

A tensão de flexão é proporcional à metade da espessura da barra

σ ≈ y

A tensão de flexão é uma função de

i. Metade da espessura: y

ii. Momento de tensão: M

iii. Momento de inércia: I

σ = K y M a I b

Onde K é uma constante adimensional

Passo 3

As dimensões da tensão de flexão são

σ = N m 2 = k g ⋅ m / s m 2 = M L - 1 T - 1

As dimensões do momento de tensão são

M = N ⋅ m = k g ⋅ m / s ⋅ m = M L 2 T - 1

Passo 4

A flexão é dimensionalmente homogênea, então

M L - 1 T - 1 = K L M L 2 T - 1 a L 4 b

Equacionando as potências de M e L em ambos os lados:

Potências de M

a = 1

Potências de L

1 + 2 a + 4 b = - 1

→ b = - 1

Passo 5

Então temos que

α = K y M I - 1 = K y M I

Substituindo valores

75 ⋅ 10 6 = K ⋅ 0,0381 ⋅ 327,66 1,665 ⋅ 10 - 7

Resolvendo para K

K = 1,665 ⋅ 10 - 7 ⋅ 75 ⋅ 10 6 327,66 ⋅ 0,0381

→ K = 1,0002

Resposta

α = 1,22 M y I

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