Enunciado

Um tanque com diâmetro D 0 = 10   m inicialmente está cheio com água até 2   m acima do centro de uma válvula com diâmetro D = 10   c m próxima à parte inferior. A superfície do tanque está aberta para a atmosfera e o tanque é drenado por meio de um tubo com comprimento de L = 100   m conectado à válvula. O fator de atrito do tubo é dado por f = 0,015 e a velocidade de descarga é expressa por V = 2 g z 1,5 + f L D , onde z é a altura da água acima do centro da válvula. Determine (a) a velocidade inicial de descarga do tanque e (b) o tempo necessário para esvaziar o tanque. O tanque pode ser considerado vazio quando o nível da água cai até o centro da válvula.

Passo 1

vamos fazer uma ilustração do nosso tanque, simples, mas é suficiente vai.

Vamos assumir que o fluxo é constante e iramos considerar que o tanque estará vazio quando o nível da água chegar até centro da válvula.

Passo 2

a) Para calculara a velocidade inicial da água, basta substituirmos os valores que foi nos dado no enunciado na formula que também foi dado:

V = 2 g z 1,5 + f L D

Só vamos ficar atentos que desejamos a velocidade inicial, portanto, utilizaremos a coluna de água inicial, ou seja, tanque cheio z = 2   m .

V =   2 ∙ 9,81 ∙ 2 1,5 + 0,015 ∙ 100 0,1

V = 1,54   m / s

Passo 3

b) Para determinar a quantidade de tempo para esvaziar o tanque, primeiramente temos que determinar a vazão volumétrica:

V ˙ = V ∙ A d u t o

V ˙ = 2 g z 1,5 + f L D ∙ π D 2 4

Substituindo os valores que são constantes durante o processo:

V ˙ = 2 ∙ 9,81 ∙ z 1,5 + 0,015 ∙ 100 0,1 ∙ π 0,1 2 4

V ˙ = 1,1889 ∙ z ∙ π 0,1 2 4

Não irei finalizar possíveis, para facilitar à escrita. Apenas uma questão de jogar na calculadora.

Passo 4

Perceba que z é a nossa variável que estará variando com o tempo, portanto caso nós desejamos descobrir a quantidade de água que flui pelo duto durante o processo, vamos diferenciar o fluxo, nossa notação para volume será V v o l u m e devido termo vários V nos nossos calculos:

d   V v o l u m e = V ˙ d t

d   V v o l u m e = 1,1889 ∙ z ∙ π 0,1 2 4   d t

E como nós assumimos que o fluxo é constante e incompressível, temos que pela conservação da massa, a quantidade de água que passa pelo duto vai ser igual à quantidade de água que tem no tanque.

d   V v o l u m e = A t a n q   - d z

d   V v o l u m e = - π D 0 2 4     d z

Em que d z é variação do nível de água do tanque um período de tempo d t . Note que coloquei - d z , pois a direção positiva de z é para cima, com estamos esvaziando o tanque a varia de z será negativa.

Igualando as duas equações:

d   V v o l u m e = d   V v o l u m e

1,1889 ∙ z ∙ π 0,1 2 4   d t = - π D 0 2 4     d z

Isolando d t , pois é a grandeza tempo que desejamos, para esta certa quantidade de água:

d t = - D 0 2 0,1 2 ∙ d z 1,1889 ∙ z

Passo 5

Determinamos a equação do tempo para esvaziar esta variação de volume, agora é uma questão de calculo apenas, como sabemos a integral de uma derivada é a variável que esta sendo diferenciada, portanto integrando dos dois lados da equação:

Note que, não podemos simplesmente integrar, pois temos limites para esta integral, limites físicos. Em que para t = 0 , significa que nosso tanque começou a esvaziar, portanto, para a correspondente de t = 0 , no espaço físico, z 1 = 2   m e para o tempo necessário para esvaziar t teremos seu correspondente espaço z = 0 .

∫ t = 0 t d t = ∫ z = z 1 0 - D 0 2 0,1 2 ∙ d z 1,1889 ∙ z

t = ∫ z = z 1 0 - D 0 2 0,1 2 ∙ d z 1,1889 ∙ z

Simplificando a integral:

t = - D 0 2 0,1 2 1,1889 ∫ z = z 1 0 z - 1 / 2   d z

t = - D 0 2 0,1 2 1,1889 ∙ 2 ∙ z 1 2 z 1 0

t = - D 0 2 0,1 2 1,1889 ∙ - 2 ∙ 2

Substituindo D 0 e executando os cálculos, temos:

t = 25940   s

Para termos uma noção melhor do que significa isso, dividindo por 60:

t = 432,33   m i n

Dividindo novamente por 60:

t = 7,2055   h o r a s

Resposta

t = 7,2055   h o r a s

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