Enunciado

Um tanque muito grande contém ar a 102 kPa em um local onde o ar atmosférico está a 100 kPa e 20°C. Agora uma torneira com 2 cm é aberta. Determine a vazão máxima do ar através do orifício. Qual seria sua resposta se o ar fosse descarregado através de um tubo de 2 m de comprimento e 4 cm de diâmetro com um bocal de 2 cm de diâmetro? Você resolveria o problema da mesma forma se a pressão no tanque de armazenamento fosse 300 kPa?

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem?

Bem, assumimos inicialmente que:

1. O fluxo através da torneira é constante, incompressível e irrotacional com atrito desprezível (de modo que a taxa de fluxo é máximo e a equação de Bernoulli é aplicável).

E devemos lembrar que:

R a r = 0,287 k P a ⋅ m 3 k g ⋅ K

Passo 2

Pronto, agora vamos analisar o problema, ok?

Assim, tomamos os pontos 1 no tanque e 2 logo na saída da torneira, ao longo da linha horizontal:

Feito essa análise, e observando que z 1 = z 2 (ou, os efeitos de elevação são desprezíveis para gases), e V 1 ≅ 0 , a equação de Bernoulli entre os pontos 1 e 2 fornece:

P 1 ρ g + V 1 2 2 g + z 1 = P 2 ρ g + V 2 2 2 g + z 2               → V 2 = 2 P 1 - P 2 ρ a r               ( 1 )

Porém, ainda não sabemos o ρ a r para encontrar a velocidade na segunda seção.

Podemos, portanto, utilizar a equação geral dos gases para encontrar a densidade específica do ar, assim:

ρ a r = P R T = 102   k P a 0,287   k P a ⋅ m 3 k g ⋅ K ⋅ 293   K   = 1,21 k g m 3

Assim, substituindo os valores na equação 1, temos:

V 2 = 2 102 - 100   k P a 1,21   k g / m ³                       → V 2 = 57,5 m s  

Passo 3

Sabendo o valor da velocidade na saída da torneira, podemos encontrar a vazão através de:

V ˙ = A V 2

A área da seção é expressa como:

A = π D 2 4

Assim:

V ˙ = π D 2 4 V 2 = π ( 0,02   m ) ² 4 ⋅ 57,5 m s                           → V ˙ = 0,0181 m 3 s

P.s: Esta é a vazão máxima, pois é determinada assumindo-se fluxo sem atrito. A vazão real será menor.

A adição de um tubo de 2 m de comprimento e 4 cm de diâmetro com um bocal de 2 cm de diâmetro não afetará a vazão, pois a vazão é sem atrito (usando a equação de Bernoulli, pode ser demonstrado que a velocidade nesta seção aumenta, mas a pressão diminui e há uma diferença de pressão menor para conduzir o fluxo através da aba, com efeito líquido nulo na taxa de descarga).

E se a pressão no tanque fosse de 300 kPa, o fluxo não é mais incompressível e, portanto, o problema nesse caso deve ser analisado usando a teoria do fluxo compressível.

Resposta

Portanto: V ˙ = 0,0181 m 3 s

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