Responde Aí

Enunciado

Os tanques A e D são de grande dimensões e o tanque C é de pequenas dimensões, mas o nível (4) permanece constante. A bomba B, que tem η B = 80 % , recebe 11 kW do motor elétrico e tem carga manométrica de 20 m. Determinar:

a) o tipo de máquina M e sua carga manométrica;

b) a vazão no trecho (4)-(5) Q c (L/s);

c) a vazão que passa na bomba B (L/s);

d) a cota z (m).

Dados: H p 0,3 = 3   m ; H p 4,5 = 0   m ; H p 6,7 = 2   m ; H p 8,9 = 10   m .

Passo 1

Vamos começar o exercício analisando a relação entre os pontos 1 e 2, sabemos que a vazão nesses pontos devem ser iguais, então:

Q 1 = Q 2 → A 1 v 1 = A 2 v 2 → π D 1 2 4 v 1 = π D 2 2 4 v 2

Substituindo os valores conhecidos:

π 5 2 4 v 1 = π 10 2 4 v 2 → v 1 = 4 v 2

Agora, vamos aplicar o equilíbrio de cargas entre os pontos 1 e 2:

H 1 + H M = H 2

v 1 2 2 g + p 1 γ + z 1 + H M = v 2 2 2 g + p 2 γ + z 2

Agora vamos isolar a carga da máquina:

H M = v 2 2 2 g + p 2 γ - v 1 2 2 g + p 1 γ

H M = v 2 2 2 g - v 1 2 2 g + p 2 γ - p 1 γ

Agora, já vimos que v 1 = 4 v 2 então o termo anterior de velocidade é negativo, e como podemos ver pelos manômetros da figura nos pontos 1 e 2, sabemos que p 1 > p 2 , então o termo H M será negativo, o que quer dizer que o fluido fornece energia para a máquina, então, nesse caso, temos uma turbina.

Agora podemos escrever a equação de equilíbrio de carga entre os pontos 0 e 3:

H 0 - H M = H 3 + H p 0,3

v 0 2 2 g + p 0 γ + z 0 - H M = v 3 2 2 g + p 3 γ + z 3 + H p 0,3

Agora, substituindo os valores conhecidos:

0 2 2 10 + 0 10 4 + 30 - H M = v 3 2 2 10 + 0 10 4 + 0 + 3

H M = 27 - v 3 2 20

Essa será nossa equação 1. Agora, voltando a equação obtida do equilíbrio entre os pontos 1 e 2:

H M = v 2 2 2 g - v 1 2 2 g + p 2 γ - p 1 γ

Podemos substituir a relação obtida para v 1 e também a diferença de pressão aferida pelo manômetro da figura (lembrando do sinal negativo já que a máquina é uma turbina):

H M = - v 2 2 2 g - 4 v 2 2 2 g - 15 → H M = 15 v 2 2 2 g + 15

Como 2 e 3 possuem a mesma vazão e mesmo diâmetro, então v 2 = v 3 , então, substituindo a equação 1 a essa equação, temos:

27 - v 3 2 20 = 15 v 2 2 2 g + 15 → 27 - v 2 2 20 = 15 v 2 2 2 10 + 15 → 16 v 2 2 20 = 12 → v 2 = 3,87   m / s

Então, retornando a equação da carga da máquina, temos:

H M = 15 v 2 2 2 g + 15 = 15 3,87 2 2 10 + 15 → H M = 26,2   m

Passo 2

Agora para a letra b) através do desenho conseguimos ver que a vazão entre 4 e 5 é a mesma que vem do tanque A, que pode ser calvulada através da velocidade v 2 encontrada no passo 1 e a área nesse ponto, então, temos:

Q C = Q A = v 2 π D 2 4 = 3,87 π 0,1 2 4 → Q C = 0,0304   m 3 / s

Passo 3

Agora, na letra c) vamos calcular a vazão da bomba através da fórmula de sua potência, dada por:

N B = γ Q B H B η B → Q B = N B η B γ H B = 11000 0,8 10 4 20 → Q B = 0,046   m 3 / s

Passo 4

Agora para a resolver a letra d), vamos começar encontrando a vazão no ponto 6, pelo desenho sabemos que a vazão da bomba é a vazão em 6 mais a vazão que vem do tanque C, ou seja:

Q B = Q 6 + Q C → Q 6 = Q B - Q C = 0,046 - 0,0304 → Q 6 = 0,0136   m 3 / s

Com isso podemos encontrar a velocidade em 6 através da fórmula da vazão:

Q 6 = v 6 A 6 → v 6 = Q 6 A 6 = 0,0136 30.10 - 4 → v 6 = 4,53   m / s

Agora podemos calcular a carga no ponto 6, que será:

H 6 = v 6 2 2 g + p 6 γ + z 6 = 4,53 2 2 10 + 80.10 3 10 4 + 0 → H 6 = 9   m

Agora, aplicando o princípio da conservação de energia para o sistema, temos:

γ Q 6 H 6 + γ Q 4 H 4 + γ Q B H B = γ Q 9 H 9 + γ Q 6 H p 6,7 + γ Q 4 H p 4,5 + γ Q 9 H p 8,9

Podemos simplificar o termo γ que aparece multiplicando todos os termos, então substituindo os valores conhecidos:

0,0136 9 + 0,0304 2 + 0,046 20 = 0,046 H 9 + 0,0136 2 + 0,0304 0 + 0,046 ( 10 )

H 9 = 13,6   m

Passo 5

E, agora, usando a fórmula da carga para o ponto 9, temos:

H 9 = v 9 2 2 g + p 9 γ + z 9 → 13,6 = 0 2 2 10 + 0 10 4 + z 9 → z 9 = 13,6   m

Resposta

H M = 26,2   m   ( t u r b i n a )

Q C = 0,0304   m 3 / s

Q B = 0,046   m 3 / s

z 9 = 13,6   m

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