Enunciado

Considere um tanque e ar altamente pressurizado nas condições p 0 ,   ρ 0 ,   T 0 e volume v 0 . No capítulo 9 aprenderemos que, se deixarmos o tanque descarregar para a atmosfera através de um bocal convergente bem projetado com área de saída A, a vazão em massa na saída será

m ˙ = α p 0 A R T 0

Onde α ≈ 0,685   para o ar. Essa vazão persiste enquanto p 0 for pelo menos duas vezes maior do que a pressão atmosférica. Supondo T 0 constante e um gás ideal, (a) deduza uma fórmula para a variação de massa específica ρ ( t ) dentro do tanque. (b) Analise o tempo Δ t necessário para que a massa específica diminua em 25% e explique sobre a influência da altura h do tanque.

Passo 1

Vamos lá, galera! Precisamos aqui dar uns “lerigou” pra fazer essa questão!

(a) Primeira coisa, vamos lembrar do nosso saudoso gás ideal, show?

P V = n R T → P = ρ R T

A segunda coisa é observar que o tanque está “cheio” de ar e só terá uma vazão de saída e também o termo de acúmulo, ou seja, nosso balanço de massa fica:

- m ˙ s a i = d m d t

- α p 0 A R T 0 = d m d t

Lembrando que para um gás ideal temos que: p 0 = ρ 0 R T 0

- α ρ 0 R T 0 R T 0 - 1 2 = d m d t = α ρ 0 A R T 0

Vamos agora lembrar que m = ρ v , onde para uma condição inicial, temos que:

v d ρ d t = - α ρ 0 A R T 0

d ρ d t = - α ρ 0 A R T 0 v 0

Passo 2

(b) Separando as variáveis e integrando vamos obter que:

Δ ρ = - α ρ 0 A R T 0 v 0 Δ t

ρ - ρ 0 = - α ρ 0 A R T 0 v 0 Δ t

Temos que ter 25% diminuído da densidade inicial, certo? Isso é o mesmo que dizer que queremos que a densidade final seja 75% da densidade inicial.

ρ = 0,75 ρ 0

0,75 - 1 ρ 0 = - α ρ 0 A R T 0 v 0 Δ t

0,25 = 0,685 A R T 0 v 0 Δ t → Δ t = 0,25 v 0 0,685 A R T 0 = 0,25 A h 0,685 A R T 0

Δ t = 0,25 h 0,685 R T 0  

O tempo necessário como pode ser observado dependerá diretamente da altura do tanque!!!

Resposta

a     d ρ d t = - α ρ 0 A R T 0 v 0

b       0,25 h 0,685 R T 0   = Δ t

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