Enunciado

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Uma tora cilíndrica, com D = 0,3 m e L = 4 m, é mais pesada na sua extremidade inferior, de modo que flutua verticalmente com 3 m submersos na água. Quando deslocada verticalmente da sua posição de equilíbrio, a tora oscila ou “saltita” na direção vertical ao ser solta. Estime a frequência de oscilação da tora. Despreze efeitos viscosos e o movimento da água.

Passo 1

Temos nesse problema uma madeira cilíndrica, com as dimensões dadas no enunciado, é pesada na extremidade inferior, de modo que flutua verticalmente com 3   m

submersos na água do mar. Quando deslocada verticalmente do equilíbrio, a tora oscila na direção vertical após a liberação.

Devemos estimar a frequência da oscilação. Para isso, fazemos algumas considerações: fluido estático e incompressível; pressão atmosférica atuando em todos os lugares; efeitos viscosos e movimento da água são insignificantes.

Aplicaremos a seguinte equação hidrostática:

F = ρ g V d (a força de empuxo é igual ao peso do fluido deslocado)

Passo 2

Para começarmos a resolver temos o seguinte diagrama de corpo livre:

No equilíbrio, temos:

∑ F y = F - m g = 0

Onde m = ρ V d = ρ A d . Assim, quando a madeira se desloca, temos:

∑ F y = F - m g = m × d 2 y d t 2

Substituindo alguns dados:

ρ g A ( d - y ) - m g = m × d 2 y d t 2

ρ g A d - ρ g A y - ρ A d g = m × d 2 y d t 2

Logo,

m × d 2 y d t 2 + ρ g A y = 0             o u                   d 2 y d t 2 + ρ g A ρ A d y = 0

Temos a E.D.O:

d 2 y d t 2 + g d y = 0

Passo 3

Essa E.D.O, descreve um movimento harmônico simples com a frequência natural ω   descrita por:

ω = g d

ω = 9,81   m / s 2 0,3   m = 1,80   r a d / s

Para expressar a frequência, temos:

f = ω 2 π

f = 0,286   H z

Prontinho!!

Resposta

f = 0,286   H z

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